5.3 什么是几何证明　教学设计　2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.3 什么是几何证明 【教学目标】 1.了解基本事实、定理的意义，掌握本节中提出的基本事实，了解除了基本事实外，命题的真实性必须经过证明； 2.初步了解几何证明的三个步骤，通过例题了解几何证明的书写格式，知道证明要合乎逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据. 【教学重点】 基本事实、定理的意义以及本节中提出的基本事实. 【教学难点】 几何证明的三个步骤、书写格式，知道证明要合乎逻辑. 【教学过程】 一、温故探新 1.什么是基本事实？ 从已经了解的数学命题中，挑选出一部分人们通过长期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实，用基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据. 2.我们学过哪些基本事实？ 常用的基本事实： （1）两点确定一条直线; （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； （4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行; （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等. （9）等式的基本性质以及不等式的基本性质(以后学习). （10）等量代换：如果a=b，b=c，那么a=c；如果a＞b，b=c，那么a＞c. 二、新知探究 1.怎样用推理的方法证实一个命题是真命题的呢？ 命题需要由基本事实、定义、已证实的结论及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实.推理的过程叫做证明. 我们把经过推理得到证实的真命题叫做定理，定理与定义和基本事实一样，具有普遍的意义. 注意：（1）基本事实也称为“公理”，可直接作为说明其他命题是真命题的依据，其本身的真实性不需要证明. （2）定理一定是真命题，但是真命题不一定是定理.不是所有的真命题都可以作为定理，只有教材中规定的真命题才可以作为定理（一般用黑体字标出），否则其真实性在证明的过程中需要证出才能使用. （3）定理可以作为今后证明其他命题的依据. 2.例题解析 【例1】求证：同角的余角相等. 已知：如图，∠1与∠α互余， ∠2与∠α互余. 求证： ∠1=∠2. 证明：∵∠1与∠α互余(已知)， ∴∠1+∠α=90°（余角的定义）. ∴∠1=90°－∠α（等式的基本性质）. 又∵∠2与∠α互余. （已知） ∴∠2+∠α=90°. （余角的定义） ∴∠2=90°－∠α. （等式的基本性质） ∴∠1=∠2(等量代换). 【例2】“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这是对顶角的性质，你能证明它的正确性吗？你能找出条件和结论吗？并转化为图形语言和符号语言. 已知：如图，∠AOC与∠BOD是对顶角， 求证：∠AOC=∠BOD 证明：∵∠AOC与∠BOD是对顶角（已知）. ∴∠AOC+∠AOD=180°， ∠AOD+∠BOD=180°（平角的定义）. ∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（等量代换）. ∴∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）. 3.总结几何证明的一般步骤 第1步：根据题意，画出图形. 第2步：结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论.书写时，应把图形所表达的数学涵义（即图形语言）根据命题中的文字语言转化为符号语言. 第3步：找出由已知推出求证的途径，写出“证明”. 三、课堂练习 1.下列命题中，不是基本事实的是( ) A.如果a=b,b=c,那么a=c B.等量加等量，和相等 C.等量减等量，差相等 D.对顶角相等 答案：D 2.如下图，已知AB∥CD，∠1=∠2.求证：∠E=∠F. 证明：方法1：如下图，连接BC. 因为AB∥CD(已知）， 所以∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）， 即∠1+∠EBC=∠2+∠FCB. 又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠EBC=∠FCB（等式的基本性质）. 所以EB∥CF（内错角相等，两直线平行）. 所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）. 方法2：如下图，延长BE交DC的延长线于点G. 因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠G（两直线平行，内错角相等）. 因为∠1=∠2（已知）， 所以∠G=∠2（等量代换）， 所以BG∥CF（同位角相等，两直线平行）， 所以∠BEF=∠F（两直线平行，内错角相等）. 四、课堂小结 1.基本事实的概念及意义； 2.基本事实的内容； 3.证明的概念及步骤. $$