专题4 指数函数与对数函数讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题4 指数函数与对数函数 二级结论1：不同底的指数函数图像变化规律 【结论阐述】当底数大于时，底数越大指数函数的图像越靠近轴；当底数大于且小于时，底数越小，指数函数的图像越靠近轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：，即图1中由轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大. 图1 【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应指数函数的底数大小，从而对底数进行定位. 【典例指引1】 （2022北京市十一学校高一上学期期中考试） 1．已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 （2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期中） 2．如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是__________ 【针对训练】 （2022·全国·高一课时练习） 3．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， （2022·全国·高一课时练习） 4．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数a，b满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤ 其中有可能成立的关系式有（    ） A．① B．②⑤ C．②③ D．④ （2022·全国·高一课时练习） 6．（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． （2022·湖南·高一课时练习） 8．设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小顺序是______________． 二级结论2：不同底的对数函数图像变化规律 【结论阐述】当底数大于且小于时，底数越小，对数函数的图像越靠近轴；当底数大于时，底数越大，对数函数的图像越靠近轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：，即图2中，在轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大. 图2 【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应对数函数的底数大小，从而对底数进行定位. 【典例指引1】 9．如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 （2022四川绵阳南山中学高一上学期期中考试） 10．已知实数满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤. 其中可能成立的关系式有________.(填序号) 【针对训练】 （2022·新疆巴音郭楞·高一期末） 11．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 12．若，那么，满足的条件是（    ） A． B． C． D． （2022·湖南五市十校期末考试） 13．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）. A． B． C． D． （2022·湖南·高一课时练习） 15．对于函数与． (1)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？ (2)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？ （2022·全国·高一课时练习） 16．如图所示是6个函数的图像，依据图中的信息将a，b，c，d从大到小排列. 二级结论3：方程的根为，方程的根 【结论阐述】若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与（且）互为反函数. 在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于对称，即与分别在函数与反函数的图像上. 若方程的根为，方程的根为，则. 【应用场景】同底的对数函数与指数函数互为反函数，利用互为反函数的两个函数图像的对称性来求两方程根的和. 【典例指引1】 17．若实数满足，实数满足，则___________. 【典例指引2】 18．设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作.若：，：，则__________． 【针对训练】 19．已知是方程的根，是方程的根，则的值是______________． 20．已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________. 21．已知函数，，，若，图像上分别存在点关于直线对称，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．若是方程的解，是方程的解，则等于 A． B． C． D． 23．已知实数满足，，则___________. 24．已知实数满足：，，则（