专题13 排列组合、二项式定理讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题13 排列组合、二项式定理 二级结论1：排列组合中的分组与分配 【结论阐述】 ①“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法； ②“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组．不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的分法只能算一种分法； ③对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法； ④平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）； ⑤有序分配问题逐分法采用分步法）； ⑥全员分配问题采用先组后排法； ⑦名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）； ⑧限制条件分配问题采用分类法． 【应用场景】 需要根据题意判断出符合题意的分组、分配方式，涉及平均分配、部分平均不定向分配、非平均不定向分配，以及分类、分步计数原理等． 【典例指引1】 1．某高校从某系的10名优秀毕业生中选派4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 【典例指引2】 2．有本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？ 【针对训练】 （2022·江苏省苏州） 3．现有5个不同的小球，放到标号分别为①②③的三个空盒中，每个盒子至少放一个小球，有（    ）种不同的放法 A．240种 B．150种 C．360种 D．540种 4．将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（    ） A．1615 B．1716 C．286 D．364 5．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. （2022·重庆巴蜀中学高二） 6．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（        ）种不同的分配方案． A．18 B．20 C．28 D．34 （2022·山西·芮城） 7．有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2，3的小球，将这5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（    ） A．45 B．90 C．24 D．150 （2022·山西省长治市） 8．某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（    ） A．360种 B．300种 C．90种 D．150种 （2022·江苏·昆山） 9．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法； （2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法； （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法； （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？ 10．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; 二级结论2：型的系数 【结论阐述】 一、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法： （1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解； （2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）也可以按照推导二项式定理的方法解决问题． 二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 【应用场景】 对于型系数问题，可以采用相应的方法解决问题。 【典例指引1】 （2022年新高考I卷13） 11．的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【典例指引2】 12．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答） 【针对训练】 13．的展开式中，的系数为 A．10 B．20 C．30 D．60 14．的展开式中，的系数为 A． B． C． D． 15．的展开式共项 A．10 B．15 C．20 D．21 16．展开式中的系数为 A． B． C． D． 17．的展开式中的系数为（   ） A．4 B．-4 C．6