专题12 解析几何3讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题12 解析几何3 二级结论1：抛物线的焦点弦长公式 【结论阐述】 不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：． 【应用场景】运用焦点弦长公式可以很方便的计算抛物线的焦点弦长． 【典例指引1】 （2022年高考全国乙卷理5） 1．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【反思】 1．客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力，特别是求解有关线段长度时要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用． 2．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则 ①x1x2＝，y1y2＝－p2． ②，|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）． 【典例指引2】 （2022年高考甲卷20） 2．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【反思】本题第（1）问也是送分题，难度甚至小于选择题的前3题，难题争取得部分分应成为每位考生的追求，解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大，相等一部分学生会因运算不过关出错，或嫌麻烦，直接放弃，其实解析几何解答题第（1）问一般为求圆锥曲线方程，难度比较小，不要放弃，第（2）问题的思路还是比较容易想到的，平时多做几道类似的题，总结运算规律，争取做到题不二错，这部分分通过努力还是能够得到的． 【针对训练】 3．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ） A． B．8 C．12 D． 4．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（    ） A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定 （2022·山西太原·二模） 5．过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．或2 6．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    ) A．2 B． C．1 D． （2022·江苏·高二） 7．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．16 （2022全国·高二月考） 8．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（    ） A． B． C． D． （2022辽宁·高二月考） 9．已知抛物线方程为，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． （2022年新高考Ⅰ卷11，多选题） 10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 二级结论2：抛物线中的三类直线与圆相切问题 【结论阐述】 不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（图2）： 图1                   图2                                   图3 ①以为直径的圆与准线相切； ②以为直径的圆与轴相切； ③以为直径的圆与轴相切； ④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有， ①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即； ②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ④以为直径的圆必过原点，即； ⑤． 【应用场景】 运用焦点弦与圆有关的结论可以很方便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意抛物线的定义、几何性质以及圆的几何性质的应用． 【典例指引1】 11．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段 的垂直平分线交于点，设的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与，轴交于，两点，且恰与以定点为圆心的圆相切. 当圆的面积最小时，求与面积的比. 【反思】本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，一般是直线与圆锥曲线相交于两点