专题9 立体几何讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题9 立体几何 二级结论1：三余弦定理与三正弦定理 【结论阐述】 三余弦定理（又称最小角定理）：如图①，是平面的一条斜线，是平面内的一条直线，平面于，于，则，即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值等于斜线与平面所成角的余弦值乘以射影与平面内直线夹角的余弦值：； 说明：为方便记忆，我们约定为线线角，为线面角，为射影角，则由三余弦定理可得 线面角是最小的线线角，即平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中的最小者. 三正弦定理（又称最大角定理）：如图②，设二面角的平面角为，平面，平面，，设，则. 说明：为方便记忆，我们约定为二面角，为线棱角，为线面角，则由三正弦定理可得 二面角是最大的线面角，即对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于该二面角的平面角. 【应用场景】空间三类角，即两条异面直线所成角､直线与平面所成角､二面角是立体几何的核心内容，也是高考重点考查的内容之一，几乎在每一份数学高考试卷中都会涉及.建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，是求解空间三类角问题的常用方法.但此法存在两个缺陷：一是若图形不规则或不容易建立坐标系，则该法常常行不通；二是运算量较大.运用“最小（大）角”定理和“三余（正）弦”定理，不仅关联了线线角､线面角和二面角，而且利用它解决立体几何中的三类角问题，不需要建立坐标系，运算量也很小. 【典例指引1】 （2022年高考浙江卷8） 1．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 （2019年高考浙江卷8） 2．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 【针对训练】 （2018年高考浙江8） 3．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． （2022·浙江·高三开学考试） 4．在正方体中，是棱上的点且，是棱上的点，记与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． （2022·北京大兴·高一期末） 5．如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． （2022·河南新乡·高二期末） 6．已知直线是平面的斜线，且与平面交于点，在平面上的射影为，在平面内过点作一条直线，直线和直线不重合，直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，直线与直线所成的角为，则（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 （2022·山西省长治市第二中学校高一期末） 7．在空间，若直线与平面所成角为，则（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的动点，记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，则，的大小关系是 A． B． C． D．不能确定 （2022·江西省万载中学高二期中） 9．已知点A、B分别在二面角的两个面α、β上，AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，，若AB与l成60º角，则二面角为（    ） A．30º B．45º C．60º D．120º 10．已知二面角是直二面角，为棱上一点，、分别在平面、内，且，则为（    ） A．45° B．60° C．120° D．150° 11．的边在平面内，在平面外，和分别在与平面成30和45的角，且平面与平面成60的二面角，那么的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 （2022·上海市七宝中学高二开学考试） 12．正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________. （2022·河南省上蔡第一高级中学高三月考） 13．在四面体中，平面.若直线与所成的角为，则直线与平面所成角的取值范围是__________. （2022·浙江宁波·高二期末） 14．已知三棱锥的棱长均为平面为中点，.记和直线所成角为，则该三棱锥绕旋转的过程中，的最小值是___________. 15．三角形ABC的一条边AB在平面内，，，，若AC与平面所成角为，则直线BC与平面所成角的正弦值为___________. 二级结论2：多面体的外接球和内切球 【结论阐述】 类型一球的内切问题（等体积法） 例如：如图①，在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二球的外接问题 1.公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2.补形法（补长方体或