专题7 解三角形讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题7 解三角形 二级结论1：正切恒等式 【结论阐述】若△为斜三角形，则有（正切恒等式）． 【应用场景】这个公式常用于求角、线段长、判断三角形的形状、证明不等式以及求含有式子的最值等题型． 【典例指引1】 （2016年高考江苏卷14） 1．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 【典例指引2】 2．在锐角三角形中，，则的最小值是（    ）. A．3 B． C． D．12 【针对训练】 （2022·贵州遵义月考） 3．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．锐角中，角A所对的边为，的面积，给出以下结论：①；②；③； ④有最小值8.其中结论正确的是 A．1 B．2 C．3 D．4 （2022·上海中学高一期中） 5．在锐角三角形中，若，则的最小值是________． 6．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为__________． 7．在锐角三角形中，若，则的最大值是_______. 8．在锐角三角形中，是边上的中线，且，则的最小值______． 9．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为__________. 10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______． （2022·江苏省镇江中学月考） 11．在斜中， (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 二级结论2：射影定理 【结论阐述】在中，． 【应用场景】应用射影定理快速实现边角互化，进而求边、角及与三角形有关的最值等问题． 【典例指引1】 （2017·新课标Ⅱ卷） 12．的内角的对边分别为，若，则 ________． 【典例指引2】 13．在中，若，则_______． 【针对训练】 （2022·河南洛阳·高二期末） 14．在中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．在中，角的对边分别为，当的外接圆半径时，面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．在中，，则__________. 17．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则______. 18．在中，若，则______． 19．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为_________． 20．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则_______． 21．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______． 22．在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______． 23．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且， 则的面积为_______． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） $$ 专题7 解三角形 二级结论1：正切恒等式 【结论阐述】若△为斜三角形，则有（正切恒等式）． 【应用场景】这个公式常用于求角、线段长、判断三角形的形状、证明不等式以及求含有式子的最值等题型． 【典例指引1】 （2016年高考江苏卷14） 1．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 【答案】8. 【详解】，又，因此 即最小值为8. 【考点】三角恒等变换，切的性质应用 【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边． 【典例指引2】 2．在锐角三角形中，，则的最小值是（    ）. A．3 B． C． D．12 【答案】B 【分析】化简可得，将化成，即可根据 的范围求解 【详解】∵，∴， ∴， ∴， ∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查基本不等式求最值，属于中档题. 【针对训练】 （2022·贵州遵义月考） 3．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值. 【详解】，， 依题意， 即 ，， 所以为锐角，. 由正弦定理得， 所以， 所以三角形周长为 ， 由于， 所以当时，三角形的周长取得最大值为. 故选：B 4．锐角中，角A所