专题3 不等式讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题3 不等式 二级结论1：均值不等式链 【结论阐述】（，当且仅当时取等号） 【应用场景】以“和”（平方和、调和）为本质特征的“平均数”与以“积”为本质特征的“平均数”相互转化．主要用于求函数最值、证明不等式，但要注意三个条件：①“一正”，即项项为正；②“二定”，即两项之积“或和为定值”；③“三相等”，即项项相等时才能使“”号成立． 【典例指引1】 1．若为正数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 2．设，，，则的最大值是______________. 【针对训练】 一、单选题 （2023·天津·南开中学模拟预测） 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 （2023·辽宁鞍山·一模） 4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 （2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测） 5．若、，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． （2023·广东茂名·二模） 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D． （2023·浙江湖州·模拟预测） 7．已知，定义，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．1 二、多选题 （2023·河北保定·一模） 8．下面描述正确的是（    ） A．已知，，且，则 B．函数，若，且，则的最小值是 C．已知，则的最小值为 D．已知，则的最小值为 （2023·广东肇庆·二模） 9．已知，，，且，则（    ） A． B． C． D． （2023·江苏·盐城中学模拟预测） 10．已知均为正数且，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． （2023·江苏·南京市第一中学模拟预测） 11．已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（    ） A．1 B．4 C．9 D．32 （2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测） 12．设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二级结论2：两个经典超越不等式 【结论阐述】（1）对数形式：，当且仅当时，等号成立． （2）指数形式：，当且仅当时，等号成立． 进一步可得到一组不等式链：（且） 上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：， ，截取片段：，当且仅当时，等号成立；进而：，当且仅当时，等号成立． 【应用场景】对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：，，，等，这些都高考命题的题点． 【典例指引1】 （2022·江苏苏州·高三期末） 13．已知 则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 （2022·安徽·高三月考） 14．已知函数. (1)若对，都有，求实数a的取值范围； (2)若a、，且，求证：对任意，都有：. 【针对训练】 （2022·广东韶关·一模） 15．已知，则（    ） A． B． C． D． （2022·山西运城联考） 16．已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． （2022·广东肇庆·） 17．下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． （2022·安徽·东至县第二中学） 18．下列不等式正确的个数有（    ）个.    ①；②；③ A．0 B．1 C．2 D．3 19．下列四个命题中的假命题为（    ） A．， B．， C．， D．， 20．下列不等式中正确的是 ①；②；③. A．①③ B．①②③ C．② D．①② （2022·浙江·高三月考） 21．证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 22．已知. (1)求函数的单调区间； (2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值； (3)证明不等式：. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） $$ 专题3 不等式 二级结论1：均值不等式链 【结论阐述】（，当且仅当时取等号） 【应用场景】以“和”（平方和、调和）为本质特征的“平均数”与以“积”为本质特征的“平均数”相互转化．主要用于求函数最值、证明不等式，但要注意三个条件：①“一正”，即项项为正；②“二定”，即两项之积“或和为定值”；③“三相等”，即项项相等时才能使“”号成立． 【典例指引1】 1．若为正数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将完全平方式展开，重组，利