专题2 函数的性质讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题2 函数的性质 二级结论1：奇函数的最值性质 【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0． 【应用场景】这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论．适合与函数解析复杂且不易判断函数单调性，通过构造函数后，借助新的函数的奇偶性来求解原函数的最值． 【典例指引1】 1．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为（    ） A．-10 B．-8 C．-26 D．与a有关 【典例指引2】 2．已知函数的最大值为，最小值为，则____ 【针对训练】 3．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ） A． B．6 C． D．5 4．已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为（    ） A．5 B．1 C．3 D．5 5．已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值，那么在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则（    ） A． B． C． D．2 7．设函数的最大值为，最小值为，则_________. 二级结论2：函数周期性问题 【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0． 已知定义在R上的函数f(x)，若对任意x∈R，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下： (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a． (2)如果f(x+a)=(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a． (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a． (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=6a． 【应用场景】这个结论通过周期函数的定义得到，用代换等式中的构造出来的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论．解题时，要注意观察给定的抽象等式和函数的奇偶性，对称性等性质，结合图象明确函数的周期性． 【典例指引1】 8．定义在R偶函数满足，对，，都有，则有（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 9．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 10．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 11．设是上的奇函数且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知定义在R上的函数是奇函数，且是偶函数，若当时，，则的值是（    ） A． B． C．2 D．3 13．定义在上的偶函数满足当时, ,则 A． B． C． D． 14．已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） $$ 专题2 函数的性质 二级结论1：奇函数的最值性质 【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0． 【应用场景】这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论．适合与函数解析复杂且不易判断函数单调性，通过构造函数后，借助新的函数的奇偶性来求解原函数的最值． 【典例指引1】 1．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为（    ） A．-10 B．-8 C．-26 D．与a有关 【答案】C 【解析】先设，利用关系，求在区间上的最大值18，再利用是奇函数，判断在区间上的最小值-18，再利用关系，得到在区间上的最小值即可. 【详解】设，则，即，故在区间上的最大值为， 又易见，即是奇函数，图象关于原点中心对称，故在区间上的最小值为，故在区间上的最小值为. 故选：C. 【点睛】有关奇函数最值问题的解决方法： （1）奇