4.1 指数6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

4.1 指数6种常见考法归类 1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个． 2.n次方根、n次根式 (1)a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数. 3.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1). (4)＝a(n为大于1的奇数). (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数). 注：根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？ 当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为.但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±. 4.分数指数幂 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 5.有理数指数幂的运算性质 (1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； ②(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)； ③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q). (2)拓展：＝as－t(a>0，s，t∈Q). 6.无理数指数幂 一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 注：分数指数幂与根式有什么关系？ (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化. (2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会没有意义.当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.　 7.幂指数表 8.n次方根的注意点： (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定. ①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致. 9.利用根式的性质化简或求值 n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|. 注：对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 10.条件根式的化简技巧 （1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； （2）有条件根式的化简经常用到配方的方法。当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 11.根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数化为分数指数的分母， 被开方数(式)的指数化为分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 注：（1）根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝和a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． （2）分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用． （3）在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 12.指数幂与根式运算的技巧 （1）有理数指数幂的运算技巧,①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算. ②指数的处理：负指数先化为正指数. ③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示. （2）根式运算技巧 ①各根式尤其是根指数不同时要先化成分数指数幂，再运算. ②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂. （3）对于化简或求值结果的要求 对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 13.条件求值问题的常用方法 （1）整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般