专题2-1 函数性质：中心对称与轴对称九种归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题2-1 函数性质：中心对称与轴对称九种归类 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 奇偶性 · 【题型二】 左右平移还原型“奇偶性” · 【题型三】 周对称函数 · 【题型四】 中心对称函数 · 【题型五】 类比正弦凑周期型 · 【题型六】 双函数中心与轴对称互化型 · 【题型七】 系数不是1型求中心与轴 · 【题型八】 中心与轴对称应用：周期求和 · 【题型九】 中心与轴对称应用：倒序求和 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 一、判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； （3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇. 抽象函数对称性与周期性的判断如下： 若，则函数关于对称； 若，则函数关于中心对称； 若，则是的一个周期 二、奇偶性主要性质 (1)奇偶函数的性质 ①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反； ②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同； ③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ； (2)奇偶性的判定 ①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ； ②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． (2)常见奇函数 ①f(x)＝ ②f(x)＝loga ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(＋x) 当然，还有f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等； 三、函数奇偶性的应用: (1)一般用或; (2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或. 四、周期性： ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 五.中心对称结论如下： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 六、轴对称性的常用结论如下： （1） 若函数满足,则的一条对称轴为 （2） 若函数满足,则的一条对称轴为 （3） 若函数满足,则的一条对称轴为 (4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称； 热点考题归纳 【题型一】 奇偶性 【典例分析】 1．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市杨家坪中学校考）若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）： 1.加减型： 奇+奇→ 奇 偶+偶→ 偶 奇-奇→ 奇 偶-偶→ 偶 奇+偶→ 非 奇-偶→ 非 2.乘除型（乘除经验结论一致） 奇X奇→ 偶 偶X偶→ 偶 奇X偶→ 奇 奇X偶X奇→ =偶 简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变 3.上下平移型： 奇+c→ 非 偶+c→ 偶 4.复合函数： 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 【变式演练】 1．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·浙江宁波·高三联考）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【题型二】左右平移还原型“奇偶性” 【典例分析】 1.（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（