专题一 乘法公式及其应用-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（苏科版）

31 专题一　乘法公式及其应用 初中数学教材中介绍的乘法公式为平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2.这两类乘法公式在解题(化简、求值、证明、解方程或解不等式等问题)中 的应用十分广泛,技巧性高,灵活性强.正确运用乘法公式,首先要准确了解并掌握每个公式的结 构特征,其次要深入理解公式中的每个字母的内涵,另外还要注意乘法公式的变形运用. 类型一 利用乘法公式简便计算 1. 简便计算: (1) 20222-2020×2024; (2) 1882-376×88+882. 2. 在学习“平方差公式”时,张老师出了一道 题:计算9×11×101.嘉嘉发现把9写成 (10-1),把11写成(10+1)后可以连续运 用平方差公式进行计算. 请根据上述思路,计算: (1) 9×11×101; (2) 1 2× 1+ 1 2 × 1+122 × 1+124 × 1+128 +1216. 类型二 与乘法公式有关的规律问题 3. 观察下列等式: 4×1=22-02; 4×2=32-12; 4×3=42-22; 4×4=52-32; …… (1) 请将2020写成两整数平方差的形式: 2020= 2- 2. (2) 用含有字母n(n≥1且n为整数)的等 式表示这一规律是 ,并用已学 的知识验证这一规律. (3) 相邻两整数的平方差一定是4的倍数 吗? 请说明理由. 4. 观察下列式子: (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1)(x2+x+1)=x3-1; (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1; …… 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 (1) 根据规律,(x-1)(xn-1+xn-2+ xn-3+…+x+1)= ; (2) 利用(1)的结论,求1+5+52+53+…+ 599+5100的值; (3) 利用(1)的结论,求2200-2199+2198- 2197+…+24-23+22-2的值. 类型三 利用整体思想解决问题 5. 已知(x-2021)2+(x-2023)2=50,则 (x-2022)2的值为 ( ) A. 24 B. 23 C. 22 D. 无法确定 6. 已知(x+y+1)(x+y-1)=8,且xy=2, 求x2+y2的值. 类型四 利用完全平方公式的非负性求值 或比较大小 7. 比较2x2与x2+2x-3的大小. 答案讲解 8. 阅读材料: 若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求 m、n的值. 解:∵ m2-2mn+2n2-8n+16=0, ∴ (m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0. ∴ (m-n)2+(n-4)2=0.∵ (m-n)2≥0, (n-4)2≥0,∴ (m-n)2=0,(n-4)2=0. ∴ n=4,m=4. 解决下列问题: (1) 已知a2+6ab+10b2+2b+1=0,求a- b的值; (2) 已知△ABC 的三边长a、b、c都是正整 数,且满足2a2+b2-4a-6b+11=0,求 △ABC 的周长; (3) 已知x+y=2,xy-z2-4z=5,求xyz 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 33 类型五 乘法公式的变形运用 9. 已知a=120x+20 ,b=120x+19 ,c=120x+ 21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的 值是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知ab=1,因为(a+b)2=a2+2ab+b2= a2+b2+2①,(a-b)2=a2-2ab+b2= a2+b2-2②,所以由①得a2+b2=(a+ b)2-2.由②得a2+b2=(a-b)2+2. 试根据上面公式的变形解答