考点10空间向量与立体几何（18种题型10个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

考点10空间向量与立体几何（18种题型10个易错考点） 【课程安排细目表】 1、 真题抢先刷，考向提前知 二、考点清单 三、题型方法 四、易错分析 五. 刷压轴 一、 真题抢先刷，考向提前知 一．选择题（共1小题） 1．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C 二．填空题（共1小题） 2．（2023•上海）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 　 　种． 三．解答题（共2小题） 3．（2023•上海）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4． （1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小． 4．（2023•上海）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F． （1）求直线PM与平面ABC所成角的大小； （2）求直线ME到平面PAB的距离． 二、考点清单 1．特殊的四棱柱 2．球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝. 3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下： S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 4．正四面体的表面积与体积 棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3. 5．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a，外接球半径R外＝a. 6．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 7．等角定理的引申 (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等． (2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补． 8．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 9.线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． (7)垂直于同一条直线的两个平面平行． (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 10．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 11．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 13．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 14．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 15．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 16．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 17.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. 18.利用