考点13数列（14种题型8个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

考点13数列（14种题型8个易错考点） 【课程安排细目表】 1、 真题抢先刷，考向提前知 二、考点清单 三、题型方法 四、易错分析 一、 真题抢先刷，考向提前知 一．选择题（共1小题） 1．（2023•上海）已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是　　 A．，，，，，为等差数到，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列 二．填空题（共3小题） 2．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则　　． 3．（2024•上海）数列，，，的取值范围为 　　． 4．（2024•上海），，，，任意，，，，满足，求有序数列，，，有 　　对． 三．解答题（共1小题） 5．（2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列． （1）设属于数列，证明：； （2）试比较与的大小关系； （3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 二、考点清单 一．等差数列的性质 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数） 等差数列的性质 （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有 as+at＝2ap； （5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数． （6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2， 2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）． 二．等差数列的通项公式 等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d． 三．等差数列的前n项和 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝ 四．等比数列的性质 等比数列 （又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列． 等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq． 等比数列的性质 （1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）． （2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列． （4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列． 五．等比数列的通项公式 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项