专题6.4 正弦定理、余弦定理及其应用（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题6.4 正弦定理、余弦定理及其应用 【核心素养】 1.独立考查正弦定理或余弦定理，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 2.与三角函数的变换、三角函数的性质等结合命题，综合考查正弦定理、余弦定理的应用，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 3.以实际问题为背景，综合考查解三角形问题，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 4.以平面图形为载体，综合考查定理在确定三角形边角中的应用，与三角形周长、面积范围等相关联，综合考查两个定理的应用，有时也会与平面向量、平面解析几何、立体几何等结合考查，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养．. 知识点一 正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 知识点二 余弦定理 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 知识点三 常用结论 (1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则 ①sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)． ②sin ＝cos ，cos ＝sin . ③sin A＝sin B⇔A＝B； sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝. ④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． (2)三角形的面积 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 知识点四 实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 　　　 (4)坡度： ①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 【特别提醒】 (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 常考题型剖析 题型一：测量距离问题 【典例分析】 例1-1.（2023·江西南昌·校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，  则M，N间的距离为（    ）    A． B．120m C． D．200m 例1-2.（2023·全国·高三专题练习）某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度，轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点． (1)求轮船的速度V； (2)求P，C两点的距离． 【规律方法】 1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离； （3）两点间可视但有一点不可到达. 2.解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． 【变式训练】 变式1-1.【多选题】（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（    ） A．a，b， B．，， C．a，， D．，，b 变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米. 题型二：测量高度问题