专题1.1 集合的概念与表示（七个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

1.1集合的概念与表示 知识点1 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点3 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 重难点1 集合的概念 例1．（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 例2．（多选）现有以下说法，其中正确的是（　　） A．接近于0的数的全体构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 变式1．下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加运动会的学生 B．小于的正整数 C．年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 变式2．下列各选项中能构成集合的是（    ） A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才 C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家 变式3．下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数y＝x图象上所有的点 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 重难点2用列举法表示集合 例3．用列举法可将集合表示为（    ） A． B． C． D． 例4．求下列方程（组）的解集 (1) (2) (3) (4) 变式4．方程的解集为_____. 变式5．设集合，则用列举法表示集合A为_____. 变式6．已知集合，用列举法表示M＝_____． 求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 重难点3用描述法表示集合 例5．集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 例6．用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合_____； （2）被9除余2的数组成的集合_____． 变式7．已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 变式8．直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____． 变式9．若， 证明：. （1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应