专题1.1 集合的概念与表示（九大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

1.1 集合的概念与表示 重难点题型1 集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 1．（24-25高一上·山西吕梁·期中）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 2．（23-24高一上·江苏无锡·周测）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 3．（24-25高一上·江苏宿迁·周测）（多选题）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 4．（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．的近似值的全体构成集合 B．自然数集中最小的元素是0 C．在数集中，若，则 D．一个集合中可以有两个相同的元素 5．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 重难点题型2 判断是否为同一集合 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 1．（24-25高二上·河北保定·周测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25高一上·重庆万州·周测）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选题）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018= ． 重难点题型3 根据集合中元素的特征求参数 集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准． 1．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 重难点题型4 判断元素与集合的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征． 常用数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 1．（24-25高一上·江苏淮安·周测）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 4．（23-24高一上·江苏连云港·周测）（多选题）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江台州·期中）（多选题）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 根据元素与集合的关系求参数 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 1．已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高一上·山东青岛·周测）已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 5．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 6．设集合，且，则实数m的值为 ． 7．（24-25高一上·天津·周测）已知集合，若，则实数 8．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 重难点题型6 集合中元素的个数问题 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知集合，则M中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·浙江·周测）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知是满足下列条件的集合： ①，；②若，则；③若且，则. (1)判断，是否正确，并说明理由； (2)证明：若，且，则； (3)证明：若，则. 重难点题型7 列举法表示集合 列举法；把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知为非零实数，则集合为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西南昌·周测）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 4．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 6．（24-25高一上·山东淄博·周测）用列举法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 7．（24-25高一上·陕西安康·月考）用列举法表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 重难点题型8 描述法表示集合 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 1．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·周测）（多选题）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，则的值为 . 4．（23-24高一上·江苏·周测）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 5．（24-25高一上·江苏连云港·月考）选择描述法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 6．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 重难点题型9 集合的新定义问题 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 1．设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，定义集合运算：A⊙B＝｛z︳z= xy(x+y)，x∈A， y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为． A．0 B．6 C．12 D．18 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 3．（23-24高一上·江苏常州·周测）若，则，则称A是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 4．（24-25高一上·广东深圳·月考）（多选题）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则； ③若，则不可能是“复活集”. 其中所有正确结论的序号有 . 一、单选题 1．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 2．下列集合表示同一集合的是（    ） A． B． C．, D．, 3．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北·期末）已知集合，若，则（    ） A．-1 B．0 C．2 D．3 5．集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）若集合，，，且，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·浙江杭州·期中）若，，，则M中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 10．已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 12．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 四、解答题 13．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念与表示 重难点题型1 集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 1．（24-25高一上·山西吕梁·期中）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确. 故选:B 2．（23-24高一上·江苏无锡·周测）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·周测）（多选题）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 4．（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．的近似值的全体构成集合 B．自然数集中最小的元素是0 C．在数集中，若，则 D．一个集合中可以有两个相同的元素 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、判断元素与集合的关系、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的定义以及集合元素的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合，故A错误； 对于B，由自然数的定义可得B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D错误. 故选:BC 5．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、列举法表示集合 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 重难点题型2 判断是否为同一集合 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 1．（24-25高二上·河北保定·周测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合、集合的分类 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 2．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 3．（24-25高一上·重庆万州·周测）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【详解】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 4．下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【解析】直接利用集合相等的定义求解. 【详解】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故 B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故 C选项中因为，则集合故 D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故． 故选：C． 5．（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选题）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】A选项两个集合的元素不同，BD选项两个集合一个是点集一个是数集. 【详解】A选项：，分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合； B选项：表示直线上的点的坐标，表示直线上的点的纵坐标，表示不是同一集合； C选项：，两个集合相同； D选项：是数集，是有序数对构成的集合，表示不是同一集合. 故选：ABD 6．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018= ． 【答案】-1 【难度】0.65 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】利用集合相等的定义列出方程组，求出x，y，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B， ∴，解得x=-1，y=0， 则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1． 故答案为：-1． 重难点题型3 根据集合中元素的特征求参数 集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准． 1．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 2．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合元素互异性的应用 【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答. 【详解】集合，， 则当时，有，当时，或，当时，或， 所以，集合B有中5个元素. 故选：A 3．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 重难点题型4 判断元素与集合的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征． 常用数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 1．（24-25高一上·江苏淮安·周测）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合与元素的关系，结合N，Z，R，Q所表示的集合进行求解即可. 【详解】因为N表示自然数集，Z表示整数集，R表示实数集，Q表示有理数集， 所以只有选项D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 4．（23-24高一上·江苏连云港·周测）（多选题）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】易知，，， 令， 即B、C、D正确，A错误； 故选：BCD 5．（23-24高一上·浙江台州·期中）（多选题）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 重难点题型5 根据元素与集合的关系求参数 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 1．已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系，分两种情况讨论属于集合的情况，再根据集合元素的互异性进行检验. 【详解】当时，得. 此时. 此时集合. 因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 当时，解方程，即，可得或. 若，则，此时集合. 不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.   故选：C. 2．（24-25高一上·山东青岛·周测）已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 4．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 5．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 6．设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、根据元素与集合的关系求参数 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 7．（24-25高一上·天津·周测）已知集合，若，则实数 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 8．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 重难点题型6 集合中元素的个数问题 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知集合，则M中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合的定义求解． 【详解】因为且，所以，即集合中只有一个元素． 故选：A． 2．（24-25高一上·浙江·周测）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【详解】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知是满足下列条件的集合： ①，；②若，则；③若且，则. (1)判断，是否正确，并说明理由； (2)证明：若，且，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）根据，，利用条件②可依次推出，，； （2）由，可知，再由条件③可知，，再利用条件②可得结论； （3）由并结合（2）中的结论可得，再依次证得，，即可得，再结合条件②和③即可得. 【详解】（1），正确，理由如下： 因为，，由条件②可知， 由，，可得； 由，，可得， 因此，的说法正确； （2）因为，且，又，可得； 结合条件③可知，； 再由条件②可知， 即； （3）由（2）中可得， 又由条件②知， 当或时，易知， 即可得当时，，同理可得； 又当时，，则，则， 则由可知，则， 所以，可得， 因此，所以，故， 即若，则得证. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分利用三个条件，并结合已有数据对表达式整理变形得出相应结论即可证明. 重难点题型7 列举法表示集合 列举法；把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知为非零实数，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】对的值进行分类讨论，由此求得集合. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，. 故． 故选：C 3．（23-24高二下·江西南昌·周测）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 4．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·山东淄博·周测）用列举法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）由列举法的定义写出集合即可； （2）由列举法的定义写出集合即可； （3）由描述法的定义写出集合即可. 【详解】（1）列举法表示“小于10的自然数组成的集合”为：； （2）列举法表示集合：； （3）描述法表示偶数集为：. 7．（24-25高一上·陕西安康·月考）用列举法表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 重难点题型8 描述法表示集合 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 1．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】对照四个选项一一验证： 对于A：{ x |是小于18的正奇数}=即可判断； 对于B：即可判断； 对于C：即可判断； 对于D：即可判断. 【详解】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏苏州·周测）（多选题）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，则的值为 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以是的一个解，即，解得， 经检验，满足题意. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏·周测）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）（2）根据描述写出所有正偶数、被9除余2的数，即可得对应集合. 【详解】（1）令，则所有正偶数为，故所有正偶数组成的集合为； （2）令，则被9除余2的数为，故被9除余2的数组成的集合为. 故答案为：；. 5．（24-25高一上·江苏连云港·月考）选择描述法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 6．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. 【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： （2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：. （3）解：方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. （4）解：抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. （5）解：集合，用描述法可表示为：且. 重难点题型9 集合的新定义问题 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 1．设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，定义集合运算：A⊙B＝｛z︳z= xy(x+y)，x∈A， y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为． A．0 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】∵集合A={0，1}，B={2，3}， A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}， ∴A⊙B={0，6，12}， 0+6+12=18， ∴集合A⊙B中的所有元素之和为18， 故选D． 2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 3．（23-24高一上·江苏常州·周测）若，则，则称A是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】由已知，根据给出的定义可知，，，，，然后使用列举法罗列出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则； 时，则； 时，则； 时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么；或；， ；；；；；， ；；；；， 共有15个， 故答案为： 4．（24-25高一上·广东深圳·月考）（多选题）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 5．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则； ③若，则不可能是“复活集”. 其中所有正确结论的序号有 . 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据新定义检验①，由新定义构造一元二次方程，利用判别式证明判断②，利用新定义，结合不等式的知识判断③． 【详解】①，故①正确. ②不妨设，则由根与系数的关系知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，由，可得，解得或，故②错误. ③根据集合中元素的互异性知，不妨设，由，可得. ，.于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确. 故答案为：①③． 一、单选题 1．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B 2．下列集合表示同一集合的是（    ） A． B． C．, D．, 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【解析】根据集合中元素的范围、种类、顺序判断集合是否为相同集合. 【详解】A．元素表示不同的点，所以是不同的集合； B．集合中元素的顺序不同，但是元素相同，所以是同一的集合； C．集合中的元素是点，集合中的元素是数，所以是不同的集合； D．集合中的元素范围是，集合中的元素范围是，范围不同，所以是不同的集合； 故选：B. 【点睛】本题考查同一集合的判断，主要根据集合中元素的特点进行判断，难度较易. 3．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果. 【详解】根据集合可知， 集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数； 对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确； 对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确； 对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确； 对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误； 故选：D 4．（24-25高一上·湖北·期末）已知集合，若，则（    ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可. 【详解】因为，所以或， 而无实数解，所以. 故选：C. 5．集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 6．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 7．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）若集合，，，且，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】根据已知可得出是3的倍数，是3的倍数减1，是3的倍数减2，且奇偶性相反.进而逐项分析，即可得出答案. 【详解】根据已知易得，是3的倍数，是3的倍数减1，是3的倍数减2，且奇偶性相反. 对于A项，由已知可推得，一定是3的倍数，而，故A项错误； 对于B项，由已知可推得，一定是6的倍数，而，故B项错误； 对于C项，由已知可推得，一定是3的倍数，而，故C项错误； 对于D项，设，，， 则. 令，可得（舍去负值），故D项正确. 故选：D. 8．（22-23高一上·浙江杭州·期中）若，，，则M中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合的定义，结合已知集合，即可求得结果. 【详解】根据题意，，故中元素的个数为. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、判断元素与集合的关系、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 10．已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 12．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 四、解答题 13．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$