11.1 平方根与立方根-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（华东师大版）

57 第11章　数的开方 11.1　平方根与立方根 1. 平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根,记作 . 2. 平 方 根 的 性 质:一 个 正 数 的 平 方 根 有 ,它们互为 ;0的平方根有 ;负数 平方根. 3. 算术平方根:正数a的 平方根叫做 a的算术平方根,记作 ;0的算术平 方根是 . 4. 开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫 做开平方. 5. 立方根:如果一个数的立方等于a,那么这个 数叫做a 的立方根,记作 .求一个 数的立方根的运算,叫做 . 6. 立方根的性质:正数的立方根是 , 0的立方根是 ,负数的立方根是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 求下列各数的平方根和算术平方根: (1) 0.81; (2) 279 ; (3) (-4)2; (4) 49. 点拨:直接利用平方根及算术平方根的意义求 解,其中(2)要先化为假分数,(3)(4)要先求值, 再求解. 解答: 解有所悟:(1) 求一个数的平方根实质上就是找出 所有平方后等于这个数的数,因此负数没有平方根, 正数的平方根有两个,且互为相反数,0的平方根是 0.(2) 求一个数的平方根,如果这个数是带分数,那 么要先将带分数化为假分数或小数;如果这个数不 是最简的,那么要先计算,再求平方根.(3) 求一个 非负数的算术平方根,取平方根中非负的那一个即 可,切记不要与平方根混淆. 典例2 求下列各数的立方根: (1) 0.216; (2) 64; (3) -21027. 点拨:直接利用立方根的意义求解,其中(2)要 先求值,(3)要先化为假分数,再求解. 解答: 解有所悟:(1) 求一个数的立方根要借助立方来求. (2) 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0 的立方根是0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 典例3 求下面各式中x的值: (1) (x-3)2-1=15; (2) 1 3 (x+1)3=-9. 点拨:本题是借助平方根、立方根的意义求方程 的解,要先将原式化成(x+a)2=b(b≥0)或 (x+a)3=c的形式,然后进行求解. 解答: 解有所悟:(1) 利用开方解方程时,往往将“x+a”视 为一个整体,然后开方.(2) 易错点:开平方有“±”, 开立方则没有“±”. 答案讲解 典例4 已知2a-1的平方根为±3, 3a+b-1的算术平方根为4,求a、b 的值. 点拨:本题利用开方与乘方的互逆关系建立方 程求解. 解答: 解有所悟:解答时,要利用开方与乘方互为逆运算的 关系:① a的平方根是b,则a=b2 或b=± a;② a 的立方根是b,则a=b3 或b=3a. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (攀枝花中考)2的平方根是 ( ) A. 2 B. ±2 C. 2 D. ±2 答案讲解 2. 16的平方根是 ( ) A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2 3. (凉山州中考)化简 (-2)2的结果为( ) A. ±2 B. -2 C. 4 D. 2 4. 144的平方根是±12的数学表达式为 ( ) A. 144=12 B. 144=±12 C. ± 144=±12 D. ± 144=12 5. 有下列说法:① 0.25的平方根是0.5;② 只 有正数才有平方根;③ 2 5 2 的平方根是 ±25 ;④ -7是-49的一个平方根.其中,正 确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列说法正确的是 ( ) A. 9的算术平方根是±3 B. -8没有立方根 C. -8的立方根是-2 D. 8的立方根是±2 7. 下列等式正确的是 ( ) A. -9=-3 B. 49 144=± 7 12 C. 3(-8)2=4 D. - 3 -278=- 3 2 􀥈 􀥈