2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷8

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷 8 一、填空题（每题8分，共64分） 1．设平面向量满足，，，则的取值范围是________. 2．平面上有两条线段，，且，则线段AB和AC在该平面上任意一条直线l上的投影的长度之和m的取值范围是________. 3．已知x，，求的最小值是________. 4．已知a、b是正整数，且也是正整数，则所有符合题意的为________. 5．已知，且恰好有1000个因数，则n的因数个数的最小值为________. 6．在一条长为的线段上，随机量出长为a、b的两段，则这两段没有公共部分的概率为________. 7．已知数列满足，且，，则________. 8．已知为坐标系内一点，过点P的直线与x轴及y轴的正半轴交于M、N两点，则的最大值为________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）设函数，对任意a，，存在，使得，求m的范围． 10．设十进制n位正整数中，任何相邻两位数字（从左到右）不出现12的数有个． 证明：对任意，有是完全平方数． 11．已知椭圆，经过点的两条直线、。互相垂直，且分别与椭圆相交于A、B、C、D四点．试判断是否存在这样的使得A、B、C、D四点共圆？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷8详细解析 1．．解：首先． ， 两边等号都能取到． 2．．解：设直线的方向向量为，记， ， 则 ， 展开结合图像即得． 3．2．解：令，，其中，则，，代入整理可得 ． 情形一：若，则，记右边为，则 ， 于是当时，取得极小值，亦为最小值． 情形二：若，则 综上所述，m的最小值为2，当时取得． 4．，．解：设，则，于是是有理数．设上，其中p，且，则，是． 类似可得，，其中，． 根据题意，有，．因此所有符合题意的，． 5．100．解：设，其中都是互不相等的质数，且都是正整数，于是 ． 情形一：2和5均不是n的因数． 此时1000n的因数个数是 ， 这不可能． 情形二：2和5中的一个是n的因数（不妨设对应的为）． 此时1000n的因数个数是 ， 于是． 此时n的因数个数为 ， 当时等号取得． 情形三：2和5均为n的因数（不妨设对应的为）． 此时1000n的因数个数是 ， 于是， 此时n个因数个数为 当时等号取得 综上所述，n的因数个数的最小值为100． 6．．解：几何概型． 7．．解：首先， 8．．解：当P为△MON的内切圆与边MN的切点时取得最大值．内切圆圆心为，则，解得：，故的最大值为． 9．由题意，设，所以有 故． 即，所以． 10．当时，显然．当时，因2位数有90个，其中只有12不满足题意．故． 当时，将个符合条件的位正整数分为两类： （1）个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面n位数有种取法，这时位数中有个； （2）个位数字等于2时，前面n位数有种取法，但这个位数中倒数第二位等于1的个数不满足题意．故个位数字等于2且位数字不等于1的位数有个，由加法原理知． 约定满足，数列的特征方程为 设通项公式为：，取0，1建立方程组 ． 解得 所以 ． ① 经过递推式计算可得 ． ② 下面用数学归纳法证明． 假设． 故对任意，有． 由②式知对任意，是完全平方数． 11．设直线AB、CD的斜率分别是、．则有 那么直线AB、CD的双直线方程为 . 化简得． 故经过A、B、C、D四点的曲线系方程是 ，． 由题意得，该曲线方程为圆的方程，必有，化简得 ， 则该方程为圆的方程的充要条件是 解得，故，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$