2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷6

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷 6 一、填空题（每题8分，共64分） 1．设函数，满足，且对任意x，，都有 ， 则________. 2．若集合A中的每个元素都可表示为1，2…，9中两个不同的数之积，则集合A中元素个数的最大值为________. 3．若正整数m使得对任意一组满足的正数都有 成立，则正整数m的最小值为________. 4．若x、y为整数，方程的解的个数为________. 5．已知正方体的棱长为6，M、N分别是、BC上的点，，S、P分别是线段AD、MN的中点则异面直线SP与的距离是________. 6．抛物线上的动点A，到点的距离的最小值记为，满足的所有实数p的和为________. 7．已知函数的最大值为3，则实数a的取值范围是________. 8．满足方程的非实数的复数z的个数为________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）定义在上的连续函数满足对所有的x，有 ． 求所有的实数a，使得存在是非常值函数． 10．（20分）如图，、为双曲线C：的左、右焦点，动点在双曲线C的右支上．设的角平分线交x轴于点，交y轴于点N． （1）求m的取值范围； （2）设过点、N的直线l交双曲线C于D、E两点，求△面积的最大值． 11．（20分）设x，y，，且满足．求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷6详细解析 1．．解：因为对任意x，，有 ， 所以有． 故 即，令，得． 2．31．解：从1，2，…，9中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，，，，．共5种，因此集合A中至多有个数． 3．3．解：当时，用排序不等式，右边，不妨设，列出三组必定成立． 4．2．解：由，可解得，当且仅当为完全平方数 时，x是整数．即，得到，其中，均为2的方幂，即或，解得或．故共有2组解 5．．解：建立空间直角坐标系容易计算． 6．13．解：设，则 （1）若，即，则当时，取得最小值， ，又， 解得，． （2）若，即，则当时，取得最小值， ， 又，解得． 因此，满足的所有实数p的和为：． 7．．解：令，于是原函数化为 ， 由于在上的最大值为3，故，即 ， ， 故． 当或，时，上式总成立； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上，． 8．6个．解：满足 ① 的非实数的复数记为：（x、y为实数时，），代入原方程， ， 所以 ， 所以 因为z为非实数，故由③，知 ④ 将它代入②，有 ． ⑤ 从而有，如果，则由④，知，这不合题意，为此． （1）当时，⑤式可化为 ， ⑥ 等式左边看成是关于x的函数，然后求导得，这表明方程左侧关于x的函数是增函数，又，．可以推知， 方程⑥只有一个正根，在此，由④可确定两个复数． （2）当时，⑤式可化为 ， ⑦ 所以，从而，⑦式可以取两个负根：，．这两个值对应于④可确定4个复数． 综上，满足①的非实复数共有6个． 9．在 ① 中，令，得 ， 故． 若，取函数f：定义域是，值域是，则对x，，有 若，仍然在①式中令，有，则． 在①式中，令，得 ， 故． 在①式中令，得 ． 当x取遍内的所有实数时，也取遍内的所有实数，故总有． 设t是函数的最大值，则 即，从而，．故． 故所求的a的取值范围是． 10．（1）依题意，，直线的方程为 ， 直线的方程为 ， 即直线的方程为 ， 直线的方程为 ． 由点在的平分线上，得 ． 由，，以及，得，所以 ， ． 所以，． 结合，得． 所以m的取值范围为． （2）由（1）知，直线PM的方程为 ． 令，得，故点N的坐标为． ， 所以直线l方程为． 由，消x得 ． ① ①的判别式 ． 设，则 ，， 所以 ． 由，得，． 故，， ． 设，则， ． 所以，即点P为时，△的面积取到最大值． 故△面积的最大值为． 11．令，则 于是，，从而，当且仅当时取等号． 所以 ．2 故，当且仅当时，以上各式取等号． 所以，的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$