2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷5

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷 5 一、填空题（每题8分，共64分） 1．若，成等比数列，则________. 2．已知正实数列满足：，，，则________. 3．已知定义在R上的函数（x），对任意满足的p、q、r均有，M、m分别为函数，在上的最大值和最小值，则________. 4．在直三棱柱中，已知，，，E、F分别为边的中点，则点E沿棱柱的表面到点F的最短路径的长度为________. 5．设复数满足．则的值为________. 6．已知：，则________. 7．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其中的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则的最小值为________. 8．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的七位数，使其恰好是11的倍数的概率为________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）设正整数数列满足：，且对于任何，有．求数列的通项． 10．（20分）如图，设动点P到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得． （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使，其中点O为坐标原点． 11．（20分）已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）对任意正数a，证明：． $$2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷5详细解析 1．．解：由题意得：，． 故 2．．解：由题意得， ． 故数列是以为首项，为公比的等比数列． 从而，．故． 3．6．解：令，则． 令，，，则． 所以为奇函数．故也为奇函数． 因此，． 4．．解：比较以下三种情形下的线段EF的长度： 分别将以下三个二面角展成平面， 利用余弦定理计算即可． 5．．解：因为，所以．从而，． 故原式． 6．2016．解： 一方面，． 另一方面，当时，． 所以当时，． 又，，从而．故． 7．．解： 设，（不妨），椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，．则，，．故，所以． 于是， ． 所以． 当，且，即，时，． 8．．解：注意到，一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除． 记七位数为．则满足题意的七位数共有个． 又． 而 ． 故只能是， 即：． 于是，分组只能是：和，和，和，和． 和共四种情形．每种情形可以组成个被11整除的七位数． 故所求的概率为． 9．解法一：易得：，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明． （1）当，2时，易知均成立； （2）假设成立，则，且满足 ① 当时， 由①得 因为时，，所以． 又，所以． 又，所以． 故，即时，成立． 由（1），（2）知，对任意，． 解法二：易得：，，，猜想：.. 下面用数学归纳法证明 （1）当，2时，易知均成立； （2）假设成立，则，且满足 ① 当时， 由①得 ． ① 即 ． ② 由②左式，得，即，因为两端为整数， 则 于是． ③ 又由②右式，． 则． 因为两端为正整数，则， 所以． 又因时，为正整数，则 ． ④ 据③④得，，即时，成立． 由（1），（2）知，对任意，． 10．解法一：（1）在△PAB中，，即 ，， 即（常数）， 点P的轨迹C是以A、B为焦点，实轴长的双曲线，方程为： ． （2）设， ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为，和在双曲线上．即，因为，所以． ②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为． 由，得：， 由于该方程有两个不同的解，故， 所以，． 于是，． 因为，且M、N在双曲线右支上，所以 ． 由①②知，． 解法二：（1）同解法一 （2）设，，MN的中点为 ①当时，， 因为．所以； ②当时，． 又所以； 由得， 第二定义得 所以． 于是由 得． 因为，所以，又， 解得：由①②知． 11．（1）当时，． 则 令，结合，解得． 故在单调递增，同理在单调递减． 所以时，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）对任意给定的，因 ，若令，则． ① 则 ． ② 先证：因为 ，，． 又由，从而． 所以 再证：：由①、②的关于x、a、b的对称性，不妨设，则， 1°当，则，从而， ，． 所以． 2°若，由①得，则 因为． 所以． 同理得，于是 ． 现证明． 因为，则只要． 只要，即证，即，由假设知该式成立． 综上，对任意正数a，． $$