2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷4

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷 4 一、填空题（每题8分，共64分） 1．已知表示最接近的整数，则________. 2．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，不放回，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b，则不等式的概率为________. 3．若，，则的取值范围是________. 4．若表示不超过x的最大整数，则 ________. 5．在四面体P-ABC中，，，且，则的取值范围为________. 6．如图：P是抛物线上的动点，点B、C在y轴上，圆内切于△PBC，则△PBC面积的最小值为________. 7．从1至2018这2018个自然数中，任意选出5个数，构成公比为整数的递增等比数列，共有________种取法． 8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）求和：． 10．（20分）设正整数，是n个正实数，满足： ． 证明：． 11．（20分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值： （a）， （b）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求的值； （2）求证：． $$2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷4详细解析 1．90．解：因为等价于 ， 即，故有 ， 所以． 2．．解：甲、乙各从中抓一个球，有种情况，符合条件的有且，则用列举的办法可知共有13种情况符合要求．所以． 3．．解：原式可化为 ． 由，是减函数，所以，所以有． 4．2017．解：因为 所以原式求得的结果为2017． 5．．解：考虑△PAB的外接圆半径与b的关系，由，得点C在面PAB内的射影为△PAB的外心，故． 可计算得到，解得． 6．8．解：设，，不妨设，故直线PB的方程为 ． 因为PB与圆相切，故，化简得 ． 同理． 故，，则 ． 又P在抛物线上，故有所以 ． 故有． 当时取到等号，此时最小为8． 7．161．解：若取出5个数构成等比数列a，aq，，，则有 ． 依题意有，当q确定时，a的个数应为，分别取，3，4，5，6可得种． 8．．解：依题设， 所以，，，所以，故有 ， ． 由及△ABC为锐角三角形，得，即． 进而由得． 所以，． 9．令，则． 令，则 ， ① ② 两式作差得 ， 所以． 所以． 10．先证明的情况，以便熟悉题意．当时，由于对称性，可以对序列进行排序，不妨设为递增序列，则要证不等式即为． 由对称性，不妨设．即证：． 当时，由条件，整理得．显然，所以． 当时，由柯西不等式， 所以 ， 即，解得，故． 11．（1）设集合，且A满足（a）、（b），则，．由于不满足（b），故． 又，，，，，，，，，都不满足（b），故． 而集合满足（a）、（b），所以． （2）首先证明 ① 事实上，若，满足（a）、（b）且A的元素个数为． 令，由于，故． 又，，所以集合，且B满足（a）、（b）．从而 ． 其次证明：4，… ② 事实上，设满足（a）、（b）且A的元素个数为．令 ， 由于 ， 所以，且．而 ，， ， 从而B满足（a）、（b），于是 ． 由①、②得 ． ③ 反复利用②、③可得 $$