2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷3

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷 3 一、填空题（每题8分，共64分） 1．设，．若B的非空子集个数为1，则实数a的取值范围是________. 2．如果△ABC的三个内角A、B、C满足，，t依次成等差数列，则∠B的最大值是________. 3．设复数，，，，则当取到最小值时，________. 4．已知点是空间直角坐标系O-xyz内定点，过P作平面与三坐标轴的正半轴分别交于A、B、C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为________. 5．从正十二边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是________. 6．设O是△ABC的内心，，，，，，动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________. 7．设、分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A、B两点，且．如图，直线与椭圆E交于P、Q两点，C、D是椭圆E上异于P、Q的两点，且直线PC、QD相交于点M，直线PD、QC相交于点N．则直线MN的斜率为________. 8．设方程（n为奇数）的n个根为1，，则________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）设非负实数a、b、c满足，，试求p的最大值和最小值． 10．（20分）已知S、P（非原点）是抛物线上不同的两点，点P处的切线分别交x、y轴于Q、R． （1）若，求的值； （2）若，求△PSR面积的最小值． 11．（20分）设是3个模不大于1的复数，是方程 的两个根 证明：对，2，3都有． $$2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷3详细解析 1．．解：由已知得恰含一个元素．设，分以下情况讨论： （1）若，则，但是当时，的零点，故应舍去，而经验证满足条件； （2）若，则根据二次函数图象性质，必有，即 ， 解得或，但应舍去，而经验证满足条件． 综上所述，有． 2．．解：记，，，则．由于x、y、z至多一个负数，故，且，即．消去z后，得到 ， 方程有实根，所以，故，即，当且仅当时等号成立． 3．12．解：，当且仅当 ， 即，时，取到最小值15，此时，． 4．45．解：设此平面的方程为，a，b，分别是该平面在x、y、z轴上的截距，又点P在平面ABC内，故，由于 ， 即，得．当，即时，的最小值为45． 5．．解：将这十二个顶点依次标为，从十二个顶点中取4个顶点的方法数为，取出的四个顶点两两不相邻的情况包含以下两类： （1）如果不取点，则从这11个点中取4个点，两两不相邻，则方法数为（相当于把4个点插到7个点中）． （2）如果取点，由于不能取、，故从这9个点中取三个点两两不相邻，方法数为（相当于把三个点插到6个点中）故所求概率为． 6．．解：如图，根据向量加法的几何意义，知点P在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于△ABC面积的2倍，即． 7．．解：设，则且，．由椭圆定义可得 ，， 在△中，由余弦定理可得 ， 即 ， 化简得，而，故．于是有 ，． 因此，可得，故△为等腰直角三角形．从而．设，，，则．易得 ， 即．同理，即 ． 故有 ， 两式相减得，所以 ． 8．．解：依题意知，，2，3，…，．注意到 所以． 又n为奇数，所以为偶数，从而． 9．设则由 ， 知．故 ，，， 即．事实上，当时，p取得最小值． 另一方面，设，则由 ， 知．故 ，，， 即．事实上，当，时，p取得最大值． 10．（1）设，则P处的切线为，，故 ， 所以，解得． （2）设，则 ， 故有 ， 从而，解得． 所以 ， ， 所以， ． 令，则 ，， 所以，当时，． 11．由对称性，只需证明：． 不妨设．令 ， 由得 ． 因此，若，结论成立． 另一方面，由，，得 ， 所以 ． 因此，当时，结论成立． 下设，． 如图，考虑以为顶点的三角形． 记和分别是△ABC的边BC上的中线和高，则，． 由于b，，所以，，由此推出∠B、∠C都小于90°． 又因为，所以，即△ABC为锐角三角形．所以，△ABC的外接圆半径，于是，矛盾！因此这种情况不可能发生． 综上所述，原命题成立． $$