2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷1

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷 1 一、填空题（每题8分，共64分） 1．用N表示满足，，且方程 无实根的集合，则N的面积为________. 2．用表示正整数n的最大奇因子，如，，则________. 3．定义在R上的奇函数，当时， 则关于x的函数的所有零点之和为________. 4．椭圆中，AB是长为的动弦，O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是________. 5．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，，，O为AC的中点．过C作BO的垂线，分别交BO、AB于R、D，若，则三棱锥P-ABC体积的最大值为________. 6．n个点顺次在一条直线上，每点染上白、红、绿、蓝、紫色中的种．若对任意相邻的两点、，要么这两点同色，要么至少有一点为白色，则称之为好的染法，则好的染法的总数为________. 7．已知锐角、满足．若，，当时，则函数y的最大值为________.（用m表示） 8．已知数列，，则所有可能的乘积的和等于________. 二、解答题（共56分） 9．k是一个实数，对于任意实数x，令． （1）求的最大值与最小值的乘积； （2）求所有k，使得对每3个实数a、b和c，存在一个三角形，具有边长、和． 10．设实系数方程有3个正实根．证明：方程必有一个正实根和两个互为共轭的虚根． 11．在平面直角坐标系xOy中，给定三点、、．点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项． （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l经过△ABC的内心（设为D），与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围． $$2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷1详细解析 1．．解：令，原方程化为 ， 求出． 方程无实根等价于，或，则N的面积为 ． 2．．解：令，则， 从而，所以． 3．．解：当时，，即 时，； 时，； 时，． 画出时的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示； 则直线，与的图象有5个交点，则方程共有五个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为6． 因为时，，所以． 又，所以． 故中间的一个根满足，即，解得． 所以所有根的和为． 4．．解：设，，，则 ， 故，则，O到直线AB的距离 故． 5．．解：由题意得，，． 因为，所以，阿波罗尼斯圆知P到直线CD的最远距离为圆的半径． 设，，，则由，得 ． 因此三棱锥P-ABC体积的最大值为． 6．．解：设表示染白色的好的染法，表示不染白色的好的染法，则为好的染法的总数． 由的定义可知：，，所以 ． 注意到，代入上式得． 易知：，，特征根法即得． 7．由，有 ， 即． 因为、为锐角，且，所以，． 所以，． 由． 令，设，则有 ， 即．这说明在上单调递增． 故． 8．．解：由，把这些数表示成如下数表的形式： 将此表按主对角线对称地补成一个n×n的数表： 数表中第一行的和为 ． 第二行的和为……第n行的和为． 设所求的和为S，则 故． 9．（1）将函数化为． 由算术–几何平均不等式，于是有．所以 ． 如果，那么，从而有 ， ． 所以，当时，的最大值是，的最小值是1． 如果，那么，从而有 ， ． 所以，当时，的最大值是1，最小值是． 综上所述，的最大值与最小值的乘积的值． （2）若存在实数k，能使对每三个实数a、b、c，都存在一个三角形具有边长、和，当且仅当中的实数k能满足． 如果，那么上式等价于，即； 如果，那么上式等价于，即； 故所求的所有实数k为． 10．设方程的3个正根为． 再设方程有3个根为．由韦达定理得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 由②③知，，因此方程的系数恰好正负相间．这说明方程不可能有负数根和零根． 由于方程是三次方程，故它必有一实根，此根只可能是正根． 为证方程还有一对共轭虚根，只需证明它不可能有3个正根，以下应用反证法． 假设，，．由④⑥知 ． 所以 ． ⑦ 由⑤知． 同理可得，所以，从而，即，与⑦矛盾． 故命题得证． 11．（1）直线AB、AC、BC的方程依次为，，． 点到AB、AC、BC的距离依次为，，． 依题设，，得，即，或． 化简得点P的轨迹方程为圆与双曲线． （2）由（1）知，点P的轨迹包含两部分：圆S： ① 与双曲线T： ② 因为和是符合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点． △ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上． 直线l经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，l的斜率存在，设l的方程为 ．③ （i）当时，与圆S相切，有唯一的公共点D； 此时，直线平行于x轴，表明l与双曲线T有不同于D的两个公共点，所以l恰好与点P的轨