2023年中国西部数学邀请赛第一、二天试题

2023 年中国西部数学邀请赛 中国 重庆 金华一中数学竞赛组整理 第一天 8 月 6 日 8：00—12：00 每题 15 分 1．是否存在 6 个两两不同的整数 , , , , ,a b c d e f ，使得它们恰为关于 x的方程 2 3 2 0( ( () ) )x a x bx c x dx ex f       的 6 个根？ 2．某个国家有 2023 个岛和 2022 座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任 意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任 何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已 知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？ 3．如图，已知 ABCD 内两点 ,P Q满足 PBC QBA   且 PCB QCA   ，线 段 BC上一点 D满足 PDB QDC   ．设点 A关于直线 ,BP CQ的对称点分别为 ,X Y ．证明：DX DY ． 4．设 p为质数，整数 , ,a b c均与 p互质．证明：存在绝对值均小于 p 的整 数 1 2 3 4, , ,x x x x ，满足 1 2 3 4 (mod ) ax x bx x c p  ． 2023 年中国西部数学邀请赛 中国 重庆 金华一中数学竞赛组整理 第二天 8 月 7 日 8：00—12：00 每题 15 分 5．设非负实数 1 2 100, , ,a a a 满足对任意 2 99i  ，有  1 1max ,i i i ia a a a i    ． 求 1 2 100a a a   的最小值． 6．如图，设圆内接四边形 ABCD的对角线 AC与 BD的交点为E， ABED 的 外心为K，点 B关于直线 CD的对称点为 X ，点 Y满足四边形 DKEY是平行四 边形．证明：点 , , ,D E X Y 共圆． 7．对于正整数 ,x y，用 ( )xr y 表示满足 (mod )r y x 的最小正整数 r．对任意 正整数 , ,a b n，证明： 1 ( )( ) 2 n b i n a br ai    ． 8．一个100 100 方格表的左下角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有 一块奶酪．老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动 到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）．现在在一些小方格的边上 放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板．称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”， 如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪．求最小的正整数 n，使得对任意一种“仁蒸 的”放置 2023 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过 n次移动吃到奶酪．