湘豫名校联考2024届高三上学期8月入学摸底考试数学试题

湘豫名校联考2023年8月高三秋季入学摸底考试 数学 注意事项： 1.本试卷时间120分钟，满分150分.荅题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘炶在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆相切，则实数（ ） A. 或 B. 或9 C. 11或 D. 或 4. 已知角的终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ） A B. C. D. 7. 过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数则的图象关于（ ） A. 点对称 B. 点对称 C. 直线对称 D. 直线对称 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知二项式展开式的第5项为15，则（ ） A B. C. 展开式的系数的最大值为20 D. 展开式的各项系数之和为64 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则数列的前项和 11. 某书店为了解其受众人群，对100名顾客的年龄进行调研，并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图.已知是各个小矩形上短边的中点，若点在一条直线上，点在一条直线上，且，则下列描述正确的是（ ） A. 的值为0.0108 B. 数据众数大于中位数 C. 数据的中位数小于平均数 D. 数据的第80百分位数大于60 12. 若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的单调递减区间为 D. 若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，若，则实数的一个可能取值为__________.（答案不唯一） 14. 对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其经验回归方程为，且，则相应于点的残差为__________. 15. 若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是__________. 16. 在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为__________. 四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为. （1）求角大小； （2）求面积的最大值. 18. 一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌. （1）50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望； （2）甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率. 19. 已知数列满足以下三个条件，从中任选一个. 条件①：为数列的前项和，，且； 条件②：数列是首项为1的等比数列，且成等差数列；数列的各项均为正数，为其前项和，且，数列满足； 条件③：数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 20. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，平面平面，且分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 21. 在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点.为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最小值为，直线交椭圆于异于椭圆右顶点的两个点. （1）求椭圆的标准