第51讲 回归方程与独立性检验（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第51讲 回归方程与独立性检验 1.变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)散点图：把成对样本数据用平面直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (3)正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关.从散点图中看，满足正相关的点落在一条从左下角到右上角的直线附近. (4)负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，我们就称这两个变量负相关.从散点图中看，满足负相关的点落在一条从左上角到右下角的直线附近. (5)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 2.相关系数： (1)公式：. (2)当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． 越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3.经验回归方程 已知Y与x的n对样本数据为，令，当a，b的取值为时，Q达到最小.我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估计. 4.列联表与独立性检验 (1)分类变量：我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量. (2)列联表：按研究问题的需要，将数据分类统计并做成表格加以保存，将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 总计 总计 (3)，其中. 5.常用结论 (1)求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点． (2)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大． (3)根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． 考点一 最小二乘法求回归直线方程 考点二 非线性回归问题 考点三 计算卡方进行独立性检验 考点一：最小二乘法求回归直线方程 例1．（2023·新疆·统考二模）为了研究某公司工作人员人数x（单位：名）和月销售量y（单位：万元）的关系，从该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为（    ） A．195 B．200 C．205 D．210 【答案】C 【分析】计算、，根据回归方程的性质求出的值，再利用回归方程计算时的值． 【详解】根据题意，计算，，； ∴， ∴， 当时，可得， 所以估计其月销售量约为. 故选：C． 例2．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型拟合比较合适．令，得到x，z满足下表： 天数x（天） 2 3 4 5 6 z 1.5 4.5 5.5 6.5 7 经计算得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最小二乘法，中心点必须在直线上即可求解. 【详解】根据题目所给的数据得 ， ， ， 即 ， ； 故选：A. 例3．某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（    ）． 2 4 5 6 8 30 40 60 70 80 A．1.6 B．8.4 C．11.6 D．7.4 【答案】A 【分析】代入，得到，从而得到随机误差的效应即离差. 【详解】当时，，故随机误差的效应即离差为. 故选：A 例4．某研究所收集、整理数据后得到如下列表： x 2 3 4 5 6 y 3 7 9 10 11 由两组数据可以得到线性回归方程为，则______． 【答案】0.4 【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可求解 【详解】根据题意可得，，， 又，所以 故答案为： 例5．已知的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 11 若与线性相关，且回归直线方程为，则__________. 【答案】 【分析】利用回归直线方程经过样本中心点，即可求出结果. 【详解】由表可知，， 因为回归直线方程经过样本中心点， 所以， 解得. 故答案为：2. 考点二：非线性回归问题 例6．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）的影响，对近8年的年宣传费