重难点02 集合中的创新问题（三大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

重难点02 集合中的创新问题 【题型归纳目录】 【方法技巧与总结】 1、集合中的创新问题主要体现在（1）集合中的新定义问题；（2）集合中的新运算问题；（3）集合中的新性质问题．对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点．此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托．解决集合中的创新问题的着手点：（1）正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；（2）合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来说明． 2、解决与集合有关的创新题的对策： （1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键． （2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质． （3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的． 【经典题型】 题型一：创新集合新定义 例1．（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定与为集合U的同一种真分拆． ①； ②； ③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素． 则集合的真分拆的种数是（    ） A．4 B．8 C．10 D．15 例3．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考阶段练习）设集合S，T，.S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则有7个元素 B．若S有4个元素，则有4个元素 C．若S有3个元素，则有4个元素 D．若S有3个元素，则有5个元素 例4．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·高一单元测试）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（    ） A．N B．Z C．Q D． 例6．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论： ①；②；③； ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例7．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）已知集合,,则集合中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例8．（2023·江苏南通·高一统考期中）已知集合且，，，则（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 例10．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 例11．（2023·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 例12．（2023·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}； ④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 例13．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）给定数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合，则