2023年8月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题

绝密 ★ 启用前 2023 年 8 月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号（即 QQ 号后 6 位）填写在答题卡上. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 最终请在“雨课堂”直 接选中您作答的选项. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上; 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按 以上要求作答无效. 最终请逐题拍照上传至“雨课堂”的指定位置，要求字迹工整、清晰. 4. 请认准“鱼塘杯”高考适应性练习官方信息发布 QQ 群 778435509，后续阅卷申诉、奖 金颁发和获奖名单公示都在此群内进行. 本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = 0}，则集合 𝐴 的非空真子集的个数是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如果 𝒂 = (1, 2)，𝒃 = (3, 𝑥). 若 (𝒂 + 𝒃) ⋅ 𝒂 = 0，则 𝑥 的值是 A. 2 B. −2 C. 4 D. −4 3. 已知线段 𝐴𝐵，则平面上全体满足 |𝐴𝑃 |2 + |𝐵𝑃 |2 为定值 𝐶 > |𝐴𝐵| 2 2 的点 𝑃 的轨迹是 A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 4. 设 𝑧 ∈ C，满足 𝑧 − 2023𝑧 − i ∈ R，其中 i 为虚数单位. 则在复平面内，𝑧 表示的点的轨迹不经 过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知二项式 (1 + 2𝑥)13 的展开式中第 𝑘 项系数最大，则 (2 + 𝑥)𝑘 展开式的二项式系数和是 A. 210 B. 310 C. 29 D. 39 Y 数学试卷 第 1 页（共 4 页） 6. 如果 sin(𝛼 + 𝛽) = 45，sin𝛼 = 3 5，那么 cos𝛽 所有取值的和是 A. 9625 B. 48 25 C. 24 25 D. 12 25 7. 函数 𝑓(𝑥) 满足：任意 𝑛 ∈ N∗，𝑓(𝑛) ⩾ 5𝑛. 且 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 10𝑥𝑦. 则 10 ∑ 𝑖=1 𝑓(𝑖) 的最小值是 A. 1775 B. 1850 C. 1925 D. 2000 8. 已知 𝑥, 𝑦 ∈ (0, 𝜋2)，满足 cos(𝑥 + 𝑦) + cos𝑥 sin𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑦 cos 𝑦 sin𝑥 ⩽ 0，则下列关系式 一定成立的是 A. 𝑥 − 𝑦 ⩽ 0 B. 𝑥 − 𝑦 ⩾ 0 C. 0 ⩽ 𝑥 + 𝑦 ⩽ 𝜋2 D. 𝜋 2 ⩽ 𝑥 + 𝑦 < 𝜋 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 给定一组均为整数的样本. 现在将这个样本同时加上 𝑎 ∈ Z，则下列说法正确的是 A. 平均数增大 𝑎 B. 方差不变 C. 如果 𝑎 是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变 D. 如果 𝑎 是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变 10. 已知数列 {𝑎𝑛} 满足：𝑎𝑛+1 = 𝑎2𝑛 + 2𝑎𝑛，𝑎1 = 1，则下列说法错误的是 A. 𝑎4 = 255 B. {𝑎𝑛 + 1} 是等比数列 C. {𝑎𝑛𝑛 } 是递增数列 D. 若令 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + 1，则 𝑏𝑛 = 2 2𝑛−2 11. 已知四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √ 5,𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = √ 10,𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = √ 13, 球 𝑂 是四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷 的外接球，𝑃 ,𝑄 分别是直线 𝐴𝐷,𝐵𝐶 上一动点，则下列说法正确的是 A. cos∠𝐴𝐶𝐵 = 9 √ 130 130 B. |𝑃𝑄| 的最小值为 2 C. 球 𝑂 的表面积为 14𝜋 D. 若球 𝑂′ 与球 𝑂 球心相同，半径为 3，则球 𝑂′ 截直线 𝐵𝐶 的长为 4