专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】垂直线段最短问题； 【知识点二】将军饮马问题； 【知识点三】造桥选址问题． 【考点一】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 【例1】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为5， 故选D． 【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 【举一反三】 【变式】如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值. 解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上） ∵平分，△ABC是锐角三角形 ∴R必在AC上 ∵N关于AD的对称点是R ∴MN=MR ∴BM+MN=BM+MR ∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短） ∵， ∴=18 ∴BE=cm 即BM+MN的最小值是cm. 【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值. 【考点二】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线隐藏型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 【例2】通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是 ．    【答案】9.5 【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值． 【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，      则，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又，当D，M，N，E共线时，， ∴的最大值为9.5． 故答案为：9.5． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 【举一反三】 【变式】小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 ． 【答案】7 【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值． 解： ∵，点E为AB的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将和分别沿CE、DE翻折得到和， ∴，，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即， 【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 【考点三】将军饮马问题➼➻➸两定一动型 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． 【例3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ． 【答案】15 【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论． 解：如图，连接PC． ∵EF垂直平分线段BC， ∴PB=PC， ∴PA+PB=PA+PC≥AC=9， ∴PA+PB的最小值为9， ∴△ABP的周长的最小值为6+9=15， 故答案为：15． 【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 【举一反三】 【变式】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是 cm． 【答案】12 【分析