北京大学2023年中学生数学科学夏令营测试题一

2023年北京大学中学生数学科学夏令营测试一 2023年8月5日 金华一中数学竞赛组整理 1．设为奇数，求证：为无理数． 2．记表示非负整数x在十进制下的各位数字和，．求证：对任意非负整数，有 ． 3．在非等腰锐角三角形ABC中，BC是最长边．直线分别交AC的垂直平分线于；B关于该中垂线的对称点为．直线分别交AB的垂直平分线于；C关于该中垂线的对称点为．直线FL与BC交于，直线BL与CF交于，直线EK与过N且平行于BC的直线交于．直线DN与过的圆交于两点，直线JN与过的圆交于两点．记过的圆的平行于BC的直径所在直线为． 求证：直线交于一点． 4．在方格表中染黑一些格子，满足：每个中至少有一个黑格；每个黑格至少在一个黑色的（4个格子均为黑色）中．设第i行中有个黑格，第i列中有个黑格．求的最大值． $$