北京大学2023年中学生数学科学夏令营第二天测试题

2023 年北京大学夏令营 第二天 5. 给定正整数 n > m. 求所有的数组 (i1, i2, · · · , im)(1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n)，使得对任意满足 n∑ i=1 xi = 0 的实数组 (x1, x2, · · · , xn)(x1 < x2 < · · · < xn)，都 有 m∑ k=1 xik > 0. 6. 是否存在质数 p和非零整系数多项式 f，使得对任意正整数 α，{1, 2, · · · , pα} 中至少有 pα−2023 个正整数 n 使得 pα | f(n)？ 7. 魔术师和小美在 2N × 2N 的方格表中放入 1× 2 或 2× 1 的骨牌. 魔术师先放 入一些两两无公共格的骨牌，满足对任意 1 ≤ M ≤ 2N，方格表中每个 M ×M 的 正方形至多与 ⌈M2 ⌉ 个已放入的骨牌有公共格. 求证：小美可以再放入骨牌恰覆盖方 格表中余下的方格. 8. 设简单有向图 G 的顶点是 10 × 1000（10 行 1000 列）的格点. G 的边满 足：除最后一列外，每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点；除第一 列外，每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向；G 中无其他边. 对 最后一列的每个顶点 v 赋予一个实数 qv ∈ [0, 1]. 对其余每个顶点 u，若从 u 出 发的三条边指向的三个不同顶点为 a, b, c，则递归地定义 qu = qa + qb + qc 3 . 求 证： ∑ −→uv∈E |qu − qv| ≤ 150.