精品解析：广东省广东实验中学深圳学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

2022—2023学年春季学期高一年级期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z虚部为（ ） A B. C. D. 2. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 3. 在中，若，则A=（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 5. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 若圆锥高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 8. “阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ） A. 18π B. 16π C. 14π D. 12π 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 11. 在中，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 12. 在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M，N，P的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ） A. 当P中点时，截面为六边形 B. 当时，截面为五边形 C. 当截面为四边形时，它一定是等腰梯形 D. 设中点为Q，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 13. 已知平面向量，．若，则__________． 14. 复数的模_________． 15. 在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角______ ． 16. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围. 18. 在直三棱柱中，，，，D是AB的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； 19. 如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的表面积. （2）求阴影部分形成的几何体的体积. 20. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . （1）求角C大小； （2）若，求周长取值范围. 21. 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 （1）若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度为多少？ （2）若保证小艇在30分钟内（含30分钟）与轮船相遇，试求小艇航行速度的最小值． 22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位