2023年中国西部数学邀请赛第一天

2023 年中国西部数学邀请赛 中国 重庆 金华一中数学竞赛组整理 第一天 8 月 6 日 8：00—12：00 每题 15 分 1．是否存在 6 个两两不同的整数 , , , , ,a b c d e f ，使得它们恰为关于 x的方程 2 3 2 0( ( () ) )x a x bx c x dx ex f       的 6 个根？ 2．某个国家有 2023 个岛和 2022 座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任 意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任 何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已 知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？ 3．如图，已知 ABCD 内两点 ,P Q满足 PBC QBA   且 PCB QCA   ，线 段 BC上一点 D满足 PDB QDC   ．设点 A关于直线 ,BP CQ的对称点分别为 ,X Y ．证明：DX DY ． 4．设 p为质数，整数 , ,a b c均与 p互质．证明：存在绝对值均小于 p 的整 数 1 2 3 4, , ,x x x x ，满足 1 2 3 4 (mod ) ax x bx x c p  ．