数列拓展之两类非常规数列求通项公式 讲义——2024届高三数学一轮复习

数列专题拓展 ——两类非常规数列求通项公式 1. “分子分母”型 典例：已知数列的前n项和为，且=，求的通项公式. 分析：看到和的关系，我们通常会想到仿写，也就是把换成或，相应的变换，然后作差从而求得数列的通项公式，但是在该题中，这种方法却行不通了...... 在这种情况下，我们该怎么办呢？ 其实，我们通常用的仿写作差的方法实质上是把转换到的一个过程，那既然可以转换到，那么也可以转换到，把转换到即该类题的解题方法。 解：=（n≥2） 2 （第一步，把转换到并进行一定的化简整理） ∵= ∴ ∴ ∴，将代入，符合上式 ∴ （第二步，根据化简后的式子得出关于的某种形式的数列） 若，则n≥2时 （n≥2） 又∵，∴当时符合上式 即 若，则n≥2时 （n≥2） 又∵，∴当时符合上式 即 综上，或 （第三步，由求出） 2. “ ”型 我们知道，分别是求和、求积的符号，那如果这两个大型符号出现在了数列中，我们应该怎么应对呢？实际上，他们的出现只不过是把题目做成了“纸老虎”，应对起来很简单。 典例：已知数列满足，求的通项公式. 分析：看到，有没有一丝恐惧，其实，如果把它拆开写，也就是，再仔细一瞅，这其实就是。所以本题即为：已知数列的前n项和为，且满足，求的通项公式. 解：∵······① ∴（n≥2）······② ①—②，得：（n≥2） 又=-1符合上式 ∴ 典例：已知数列满足，求的通项公式. 分析：看到，仍然不用恐惧，它和求和符号差不多的，都是对数列从第一项到第n项的一个运算，因此，我们看到这种符号，仿写就好。 对于本题，仿写，作商，答案就出来了。 解：∵·····① ∴（n≥2）······② ，得：（n≥2） 又=1不符合上式 所以 总结：对于大型符号，不必慌张，我们要知道它们都是对数列从第一项到第n项的一个运算，因此，仿写是打败它们最有效的方法！ 试一试 1. 已知数列{}，满足Sn=+ （1）.求证：为等差数列 （2）.求的通项公式. 2.（多选）已知数列{an}，满足Sn=+，则（ ） A. =4 B.为等差数列 C.若＞0恒成立，则有- n＜11恒成立 D.若＞0恒成立，则=90（注：“”为高斯取整） 3.（多选）正项数列的前n项和满足=，则（ ） A. =1（注：“”为高斯取整） B. C. D. 4.已知数列{an}、{bn}，满足，若，求数列{}的前n项和. 5.已知数列=n和数列，且满足=。 （1）求的通项公式 （2）求的前n项和. 6.已知正项数列满足 （1）求该数列的通项公式. （2）求证：＜ $$