北京大学2023年中学生数学科学夏令营第一天测试题

北京大学 2023 年中学生数学科学夏令营测试题 第一天 金华一中数学竞赛组整理 一、设正整数 3n  ，证明：  1 1arccosπ n 是无理数． 二、对于正整数 n，定义  S n 为 0 到 1n  中所有整数在十进制中数码和之 和，证明：若正整数m n ，则      S m n S m S n n    ． 三、如图，在 ABCD 中，BC是最长边．设 AC的中垂线与直线 ,BC AB分别 交于点 ,D E，B关于此中垂线的对称点为 F ．设 AB的中垂线与直线 ,BC AC分 别交于点 ,J K，C关于此中垂线的对称点为 L．设 ,BL CF 交于点N ， BJLD 的外 接圆与直线 JN交于另一点R． CDFD 的外接圆与直线 DN交于另一点Q．过 N 作 BC的平行线交直线 EK于点 P，设 M是 ,FL BC的交点，l是 ABCD 外接圆平 行于 BC的直径，证明： , ,QR MP l交于一点． 四、将 2023 2023 的方格表黑白染色，使得每个 2 2 的小正方形中均有至少 一个黑色单位方格，且每个黑色方格均在一个 2 2 的黑色小正方形（四个单位方 格均为黑色）中．记 ia 为第 i行中的黑色方格数， ib 为第 i列中的黑色方格数， 求 2023 2 2 1 ( )i i i a b   最大值．