精品解析：广东省深圳市南山区南头城学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年广东省深圳市南山区南头城学校八年级（下）期中数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形，是把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合． 【详解】解：A、C、D中的汽车标志都属于中心对称图形， 而选项B中的汽车标志绕其圆心旋转180°后，不能和原来的图形重合， 所以不是中心对称图形． 故选B． 2. 已知，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质可进行求解． 【详解】解：A、由可得，选项错误，故符合题意； B、由可得，选项正确，故不符合题意； C、由可得，选项正确，故不符合题意； D、由可得，选项正确，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 3. 已知点A（﹣2，a）和点B（2，﹣3）关于原点对称，则a的值为（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们横、纵坐标均互为相反数，即可求出a的值． 【详解】解：∵点A（﹣2，a）和点B（2，﹣3）关于原点对称， ∴a＝3， 故选：C． 【点睛】此题考查的是关于原点对称的两点坐标关系，掌握关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数是解决此题的关键． 4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 【答案】A 【解析】 【详解】a2－4a=a（a－4）． 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可选项答案． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上应表示为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心点，不包括该点时用空心点，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 两条直线平行，内错角相等 B. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若两个实数相等，则它们的平方也相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别写出逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两条直线平行，故本选项正确； B、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，故本选项错误； C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，故本选项错误； D、若两个实数相等，则它们的平方也相等的逆命题是若两个实数的平方相等，则它们相等，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，平行线的判定，实数的性质，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大． 7. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，∠BAD＝30°，则CD的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得：即AD⊥BC，由等边三角形的性质可得，AD为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边△ABC中，AB＝4， 则，， ∵， ∴，即AD⊥BC ∴AD为△ABC中线， 故选：C 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 8. 若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ） A. 5<m≤6 B. 4<m≤5 C. 5≤m<6 D. 4≤m<5 【答案】B 【解析】 【分析】表示出不等式组的解集，由整数解有2个，确定出m的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：，即2＜x＜m， 所以不等式组的整数解有2个整数解为3，4， 则m的范围为4＜m≤5． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 9. 如图，函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质得出的值，再利用函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：函数与的图象相交于点， ， 解得：， 关于的不等式的解集是：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出的值． 10. 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可． 【详解】解：①连接CF， ∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°， ∴AF=BF=CF，CF⊥AB， ∴∠AFM+∠CFM=90°． ∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°， ∴∠AFM=∠CFN． 同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°， ∴∠A=∠FCN， 在△AMF与△CNF中， ， ∴△AMF≌△CNF（ASA）， ∴MF=NF． 故①正确； ②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA=MF=MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确； ③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误； ④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形． ∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△AMF ∴S四边形CDFE=S△AFC． 故④正确； ⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当MF最小时，FN也最小； 即当DF⊥AC时，MF最小，此时FN=AC=2． ∴MN=MF=； 当△CMN面积最大时，此时△MNF的面积最小． 此时S△CMN=S四边形CFMN-S△FMN=S△AFC-S△DEF=4-2=2， 故⑤正确． 故选：C． 【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 不等式组的整数解为______． 【答案】-1，0##0，-1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：解不等式x+1＞0，得：x＞-2， 解不等式1-x＞0，得：x＜1， ∴不等式组的解集为-2＜x＜1， ∴不等式组的整数解为-1，0， 故答案为：-1，0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12. 已知等腰三角形的两边分别为厘米和厘米，则周长是______厘米． 【答案】15或18##18或15 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形两条边长，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当厘米为腰时，由，则，，能构成三角形；此时三角形周长为厘米． 当厘米为腰时，由，则，，能构成三角形，此时三角形周长为厘米． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系． 13. 如图，点A，B的坐标分别为（－4，2），（0，－4），将线段AB平移至，若点，的坐标分别为（a，8），（6，b），则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点图形平移的特点，点A到点A1的平移方式与点B到点B1的平移方式相同，即A、B平移前后横纵坐标的变化相同，据此求解即可 【详解】解：∵将线段AB平移至， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—变化，熟知同一图形上的两点平移前后横纵坐标的变化相同是解题的关键． 14. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 【答案】2 【解析】 【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长． 【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图， ∵∠AOP=∠BOP=15°， ∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°， 而PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD， ∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°， ∴PE=PC=×4=2， ∴PD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质． 15. 如图，是边长为的等边三角形，将向右平移得到第个等边三角形，再将向右平移得第个等边三角形，重复以上做法得到第个等边三角形，若在的边上，则的值是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】过点作于点，先解，得出，，纵坐标为的点在边上或边上，其垂足是的三等分点，然后求出、长度，进而求出的值． 【详解】解：过点作于， 是边长为的等边三角形，， ，， 纵坐标为的点在边上或边上，其垂足是的三等分点． ，， 若在边上，则的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平移的性质、解直角三角形，得出在中，纵坐标为的点在边或边上，其中垂足在三等分点是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）解不等式组； （5）解不等式组． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）直接提公因式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）利用完全平方公式分解因式即可； （4）先分别求出每个不等式的解，即可确定不等式组的解集； （5）先分别求出每个不等式的解，即可确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为； 【小问5详解】 解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了因式分解和解一元一次不等式组，熟练掌握因式分解的方法和一元一次不等式组的解法是解题关键． 17. 已知，，先因式分解，再求值：． 【答案】， 【解析】 【分析】先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解，分解后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点． （1）将向下平移3个单位后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为________． （2）将绕点O逆时针旋转90°后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为________． （3）在（2）的旋转过程中，求线段OA扫过图形的面积． 【答案】（1）作图见解析；（4，−1）； （2）作图见解析；（−2，4）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，O的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可； （3）求出OA，利用扇形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，△A1O1B1即为所求，点A1的坐标为（4，−1）． 故答案为：（4，−1）； 【小问2详解】 如图，△A2OB2即为所求，点A2的坐标为（−2，4）． 故答案为：（−2，4）； 【小问3详解】 ∵， ∴线段OA扫过图形的面积＝． 【点睛】本题考查作图−旋转变换，平移变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 19. 如图，在中，，、是腰、上的高，交于点． （）求证：． （）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，从而得证； （2）首先求出∠A的度数，得到∠ACE的度数，进而求出∠COD的度数． 试题解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC=∠BDC=90°． 在△BEC和△CDB中，∵∠BEC=∠CDB，∠EBC=∠DCB，BC=CB，∴△BEC≌△CDB， ∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC． （2）∵∠ABC=65°，AB=AC，∴∠A=180°-2×65°=50°，∴∠ACE=90°－∠A=40°，∴∠COD=90°－∠ACE=90°－40°=50°． 20. 某中学决定开设“足球大课间活动”，准备购买、两种品牌的足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球，需元；购买个品牌足球和个品牌足球，需元． （1）求、两种品牌足球的单价各多少元？ （2）若学校决定购进品牌的足球不少于个，且此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，现需要购买两种品牌的足球共个，问有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】（1）品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元 （2）该校共有种购买方案，为了节约资金，学校应购买个品牌的足球，个品牌的足球 【解析】 【分析】（1）设品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元，根据“购买5个品牌足球和10个品牌足球，需350元；购买3个品牌足球和5个品牌足球，需190元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买个品牌的足球，则购买个品牌的足球，根据“购进品牌的足球不少于60个，且此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过2620元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 设品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元； 【小问2详解】 设购买个品牌的足球，则购买个品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 该校共有种购买方案， 方案：购买个品牌的足球，个品牌的足球，所需总费用为元； 方案：购买个品牌的足球，个品牌的足球，所需总费用为元； 方案：购买个品牌的足球，个品牌的足球，所需总费用为元． ， 为了节约资金，学校应购买个品牌的足球，个品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 21. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 22. 探究题： （1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接） （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： 设，则， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， ， ， 点，，在同一直线上， ，， ， ， ， 又， ，且， ． （3） 【解析】 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （2）设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证，可得，在中，，可求出的长，由此可表示出的长，再根据线段的关系表示出，在中根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：结论：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，得到， 四边形中，，，， ∴，， ，即点，，共线， 由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，，即， ， ，， ，即，解得，． 【点睛】本题主要考查图形变换，三角形全等的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的灵活运用，利用旋转构成全等三角形的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年广东省深圳市南山区南头城学校八年级（下）期中数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点A（﹣2，a）和点B（2，﹣3）关于原点对称，则a的值为（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3 4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 5. 不等式组的解集在数轴上应表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 两条直线平行，内错角相等 B. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若两个实数相等，则它们的平方也相等 7. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，∠BAD＝30°，则CD的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（ ） A. 5<m≤6 B. 4<m≤5 C. 5≤m<6 D. 4≤m<5 9. 如图，函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 不等式组的整数解为______． 12. 已知等腰三角形的两边分别为厘米和厘米，则周长是______厘米． 13. 如图，点A，B的坐标分别为（－4，2），（0，－4），将线段AB平移至，若点，的坐标分别为（a，8），（6，b），则的值为___． 14. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 15. 如图，是边长为的等边三角形，将向右平移得到第个等边三角形，再将向右平移得第个等边三角形，重复以上做法得到第个等边三角形，若在的边上，则的值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）解不等式组； （5）解不等式组． 17. 已知，，先因式分解，再求值：． 18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点． （1）将向下平移3个单位后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为________． （2）将绕点O逆时针旋转90°后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为________． （3）在（2）的旋转过程中，求线段OA扫过图形的面积． 19. 如图，在中，，、是腰、上的高，交于点． （）求证：． （）若，求的度数． 20. 某中学决定开设“足球大课间活动”，准备购买、两种品牌的足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球，需元；购买个品牌足球和个品牌足球，需元． （1）求、两种品牌足球的单价各多少元？ （2）若学校决定购进品牌的足球不少于个，且此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，现需要购买两种品牌的足球共个，问有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 21. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 探究题： （1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接） （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $