第20讲 等比数列及其前n项和讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第20讲等比数列及其前n项和 一，基础知识回顾 1.等比数列的概念 ()文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，用符号表示。 (②)符号语言： 如∈N,q是等比数列的公比). 2.等比数列的通项公式：设an}是首项为a,公比为q的等比数列，则第n项a,= 3.等比中项：若a,G,b成等比数列，则G为a和b的等比中项且G= ·(注意： 只有符号相同的两个数才有等比中项，且两个数的等比中项有两个，这两个数互为相反数) 4.等比数列的前n项和公式 (1)当q=1时，S=·(2)当q≠1时，S.= 5.等比数列的性质：已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.(m,n,p,q,r,k∈N (1)an (2)若m+n=p十q(m,m,P,q∈N,),则am·an= (3)数列am,am+k,am+2k,an+3,…仍是 (4)等比数列{a}中依次每m项的和仍成 ,即S、S2a-S、Sa-S2m、…仍 成，其公比为(q≠一1). (5)单调性：al>0,q>1)或a1<00<q<1)÷anJ是数列：a1>0,0<q<1)或a1 <0g>1)÷(anJ是数列：q=1÷{am}是数列：q<0{an}是数列. 二，典例精析 题型一：等比数列的基本运算 例1：(1)设等比数列(a的各项均为正数，其前n项和为Sn,若a1=1,a=4,S=63,则 k= (2)己知数列{an}是递增的等比数列，a1十a4=9,2a3=8,则数列{an}的前n项和等于 变式训练1：(1)在等比数列{a,}中，a=7,前3项和S=21,则公比g的值为_ (2》己知数列{an]满足2an+1十an=0,a2=1,则数列[an}的前10项和Sa为 题型二：等比数列的性质 例2：(1)在等比数列[aJ中，各项均为正值，且a6ao十ss=41,a4g=5,则a4十as= (2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且s。=10,s2。=100,则s。= (3)等比数列(an)满足a>0,n∈N*,且a·a2-3=22m(n≥2)，则当n≥1时，1og2a1+1og2a +…+10g2a2m-1= 变式训练2：(1)在等比数列{anJ中，若a1·as=16,a4=8,则a6= (2)在等比数列中，已知a1a38a15=243,则39aa11= (3)设等比数列{a的前n项和为Sn,若S6:S=1:2,则Sg:S3= 题型三：等比数列的判定与证明 例3：已知数列{a)的前n项和S,=1十入an,其中A≠0. (1)证明(a}是等比数列，并求其通项公式：(2)若Ss=3132,求A. 变式训练3：在数列(anJ中，a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N (1)求证：数列{an一n}是等比数列：(2)求数列{a}的前n项和S: 题型四：等差数列与等比数列的综合问题 例4：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个 数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 变式训练4：己知三个数成等比数列，它们的积为27，若这三个数分别加上1,4,3又成等 差数列，求这三个数. 三，方法规律总结 1.等比数列运算的通法：与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方 法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1·qa-1(a1q≠0)及前n项和公式S.=na1,q =1a1(1一qn)1一q),q≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或 方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果 2.等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明an十1an=q(q≠0，n∈)(q是与n值无关 的常数).(2)中项法：证明一个数列满足a2n十1=an·an+2(n∈且an·a+1·a+2≠0). 3.等比数列的性质：(1)an=aag-(n,m∈N):(2)若{an}为等比数列，且k十1=m十n(k, 1,m,n∈)，则a·a=a·an:(3)设公比不为一1的等比数列{a}的前n项和为Sn,则 S,S2m一Sn,S3n一S2n仍成等比数列，其公比为q. 4.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q=1或q≠1作出判断；计算过程中要 注意整体代入的思想方法， 5,等差数列与等比数列的关系是： (1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列：(2)若{}是等比数 列，且a>0,则1ga}构成等差数列： 6.在解决与等差、等比有关的设项问题的技巧 (1)三个数成等比，常设成a,aq,ag2或aq,a,aq:(2)四个数成等比，常设成a,aq,ag2, ag3或aq2,ag,a,aq:(3)三个数成等差，常设成a一d,a,a