第37讲 离散型随机变量的分布列与期望讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第37讲离散型随机变量的分布列期望与方差 一.基础知识回顾 (一)离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列：(1)随着试验结果变化而变化的变量称为 :所有取 值可以一一列出，这样的随机变量叫 (2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x,,…,x1,…,x,X取每一个值x(i=1,2,…, 的概率P(X=x)=P,则称表为离散型随机 X X1 变量X的概案分布列，它具有的性质： P p ①p≥_，i=1,2,…,:②∑n=p=离 散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 2.两点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1,q=1一p,则称离 X 1 0 散型随机变量X服从参数为的两点分布 3.超几何分布列：在含有M件次品数的N件 产品中，任取件，其中恰有X件次品，则事 0 件(X=k}发生的概率为P(X=)= P On-O 1n一g-'x n一W-发 ,(k=0,1,2,…,m,其中m=mi(,l,且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*.随机 变量X的分布列具有以下表格的形式.则称随机变量X服从超几何分布】 4.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进 Xx2…x…X知 行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种 P卫1·p· 试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率 都是一样的. (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概案 为p,则P(X=k》=」 ,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项 分布.记作XB(n,p) (二)离散型随机变量的期望方差 1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值称E(X》=xP1十D2十…十xP1十…十x为随机变量X的 它反 映了离散型随机变量取值的 (2)方差：称D(0=∑”：=1(x一E(X)2P:为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其 均值E()的 ,其算术平方根DX为随机变量X的标准差 2.均值与方差的性质：(1)E(aX+b)= (2)D(aX+b)= (a,b为实数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X0=P,D(0=p(1一p). (2)若X~B(n,p),则E(X0=p,D(X0=p(1一p. 题型一：超几何分布 例1：某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加 数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列 变式迁移1：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量X表示所选3人 中女生的人数.(1)求X的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率. 题型二：离散型随机变量分布列的应用 例2：袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大 数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数 字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（②）随机变量X的分布列：(3)计分介 于20分到40分之间的概率. 变式迁移2：某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每 箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等 品，其余为一等品.(1)用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列： (②)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品 被用户拒绝购买的概率. 题型三：离散型随机变量的期望与方差 例3：袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4). 现从袋中任取一球，表示所取球的标号，(1)求的分布列、期望和方差；(2)若1=心+b,E ()=1,D)=11,试求a,b的值. 变式迁移3：编号1,2,3的三位学生随意入座编号为12,3的三个座位，每位学生坐一个座位， 设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的分布列：(2)求随机变量X的数学期 望和方差. 题型四：二项分布的期望与方差 例4：A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只 小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有 效的概率为23，服用B有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率； 2)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。 变式迁移4：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的， 遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2mn.(1)求这名学生在上