第13讲 三角函数公式（二）讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第13讲三角函数公式（二） 两角和与差的三角函数及其二倍角公式 一.基础知识回顾 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(a+B)= (Sa+) sin(a-B)== .(S.-p) cos(a十== (Ca+) cos(a-B)== (Ca-p) tan(a+B)= (Ta+) tan(a-B)= (T.- 2.二倍角公式：s1m2a= ：c0s2a= tan 2a= 3.公式的逆向变换及有关变形：(1)tana十tanB= tan a-tan B= ；(2)sn0cosa= (3)降幂公式：sin2a= cos2a= :()升幂公式：1+cos2a= 1-cos 2a= ；(5)1±sin2a= sin atcos a= 4.辅助角公式：asina十bcos a= ,(其中cos=ar(a2+b2),sin=b r(a2+b2),tan中=ba.中的终边所在象限由a、b的符号来确定) 二.典例精析 题型一：三角函数公式的基本应用 例1：(1)设a、B都是锐角，且cosa=5)5,sin(a+)=35,求cos3的值. (2)已知a∈(0,2)，tana=12,求tan2a和sin(2a十π3)的值. 变式训练1：(I)设tan(a+)=25,tanlalvs.4acol(B一f(π4)=14，则tanlalvs4 alcol(a+\ 升)= (2)已知cosa=13,cos(a+=-13,且a、B∈iavs4 alcol0,fn2,则cos(a-)= 题型二：三角函数公式的求值应用（高频考点 例2：(1)计算sin110°sin20°cos2155°-sn2155° (2)已知sina=35,a∈(2，元)，则cos224= (3)已知方程x2+3a+3a+1=0(a>1)的两根分别为tana、tanB,且a、Belalvs-4 alcol(- fπ2)，则a十B= 变式训练2：(1)计算sin50(1+3tan10)的值 (2)已知tana=-I3,且-r2<a<0,求2sin2a+sin2arcl4)的值 (3)已知sina=5)5,sin(a-)=-1010,a,均为锐角，则角B= 题型三：三角函数式的化简 例3：化简：rc402)2+2cos0(0<0r): 变式训练3：化简：12 re\rc4)+x) 题型四：三角函数公式的综合应用 例4：已知向量a=(cosa,sina),b=(cosf,sin,la-bl=5)5 (1)求cos(a-的值；(2)若0<a<r2,一r2<f≈0，且sinB=-513,求sina 变式训练4：己知向量a=(sin0,一2)与b=(1,cos)互相垂直，其中8∈(0，r2) (1)求sin0和cos的值；(2)若5cos(0-0)=35coso,0<0<r2,求coso的值. 三。方法规律总结 1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用a、的角函数表示a+的三 角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角 和角与角转挨的目的 2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形， 如tana十anB=tan(a十)(1一tan a tan B)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆 用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆 用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用， 3.(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式： (②)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应 用诱导公式把“所求角”变成“已知角 4.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从 而正确使用公式： (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”· (③)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分” 等 5.三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特 殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且 消除非特殊角的三角函数而得解。 (②)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在 于“变角”，使其角相同或具有某种关系 (③)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定 角. 四.专题限时规范训练 一、选择题 1.若角a的终边过点(-1,2)，则cosr-2a的值为) A35 B.-35 C.5)5D.-55 2.