第2章空间向量与立体几何知识点清单-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

新教材 湘教版2019版 数学选择性必修第二册 第2章 知识点清单 目录 第2章　空间向量与立体几何 2. 1　空间直角坐标系 2. 2　空间向量及其运算 2. 3　空间向量基本定理及坐标表示 2. 4　空间向量在立体几何中的应用 2 / 2 第2章　空间向量与立体几何 2. 1　空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz. 2. 相关概念：在空间直角坐标系O-xyz中，点O叫坐标原点，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面. 二、空间点的坐标表示 1. 空间直角坐标系点的坐标的概念 在空间直角坐标系O-xyz中，若点P与有序实数组(x，y，z)之间为一一对应关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标. 2. 特殊点的坐标 在空间直角坐标系中，原点O的坐标为(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z). 记忆方法：无谁谁为0. 三、空间两点间的距离公式 1. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则 |AB|=. 2. 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=. 3. 线段中点坐标公式 已知空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为 . 4. 三角形重心坐标公式 已知△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为. 5. 空间中的对称问题 在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下结论： (1)点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x，y，z)； (7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x，-y，z). 记忆方法：关于谁对称谁不变，其余坐标变为相反数. 四、空间直角坐标系点的坐标的确定 1. 建立空间直角坐标系应遵循的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性； (3)充分利用图中已有的垂直关系. 2. 确定空间中点的坐标的方法 (1)垂面法：找到点P在三条坐标轴上的射影. 方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则(x，y，z)就是点P的坐标. (2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由的长度及其方向确定竖坐标z，再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的 横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z). 五、空间两点间的距离公式的应用 1. 计算空间两点间的距离 (1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解. (2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式求解. 2. 利用空间两点间的距离公式确定点的坐标 设出点的坐标，利用空间两点间的距离公式构造方程求解. 此外，要注意点的坐标的巧设，如在x轴上的点的坐标可设为(x，0，0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y，0). 3. 根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状. 2. 2　空间向量及其运算 一、空间向量的基本概念 1. 空间向量的基本概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. (3)表示：从空间中任意一点A出发作有向线段，使的方向与a相同，长度与|a| 相等，则有向线段表示向量a，记作a=. 通常把A称为向量的起点，B称为向量的终点. 2. 几类特殊的空间向量 名称 定义 零向量 长度为0的向量 相等向量