3.1 条件概率与事件的独立性（5知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

3.1 条件概率与事件的独立性 课程标准 学习目标 (1)结合古典概型, 了解条件概率, 能计算简单随机事件的条件概率。 (2)结合古典概型, 了解条件概率与独立性的关系。 (3)结合古典概型, 会利用乘法公式计算概率。 (4)结合古典概型, 会利用全概率公式计算概率。 （1）理解条件概率，会计算简单随机事件的条件概率； （2）理解事件的独立性，了解其与条件概率的关系； （3）会利用乘法公式与全概率公式计算概率（难点) 知识点01 条件概率 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 备注 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) 【即学即练1】 （2025高三·全国·专题练习）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.75 D．0.8 知识点02 事件的独立性 如果个事件，，….，中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称，，….，相互独立. 一般地，当个事件，，….，相互独立时，有以下公式成立 要注意的是，仅满足上式的n个事件，，….，，并不能说明它们相互独立. 【即学即练2】 （23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 知识点03 乘法公式 若为随机事件，则，则 称为概率的乘法公式. 若事件相互独立，则变为 它称为相互独立事件的概率乘法公式. 【即学即练3】 （23-24高二下·全国·课后作业）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为（    ） A． B． C． D． 知识点04 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 【即学即练4】 （2025·湖北·模拟预测）小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 知识点05 贝叶斯公式 设 【即学即练5】 （22-23高三上·江苏扬州·期末）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型一：求条件概率】 例1．（2025高三下·全国·专题练习）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 2 通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率 3 求条件概率可用公式或公式. 【题型二：判断事件的独立性】 例2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 变式2-1．（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 变式2-2．（24-25高三上·江苏南京·期中）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 变式2-3．（2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若，则事件，相互独立. 【题型三：乘法公式的应用】 例3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 变式3-1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24高一下·福建福州·期末）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（    ） A．5 B． C． D． 变式3-3．（24-25高三上·广东·开学考试）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 若事件相互独立，则变为 它称为相互独立事件的概率乘法公式. 2 利用相互独立事件的概率乘法公式时，要明确事件之间是相互独立的； 3 在分类讨论的时候，要做到不重不漏。 【题型四：全概率公式的应用】 例4．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 变式4-1．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司老、中、青三类员工的人数和男性比例如下表所示： 老员工 中年员工 青年员工 人数比例 男性人数比例 在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 变式4-3．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，我们称它为全概率公式. 2 使用全概率公式，要注意“”，不要找漏事件. 【题型五：贝叶斯公式的应用】 例5．（23-24高二下·黑龙江绥化·阶段练习）设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 变式5-1．（22-23高二上·江西上饶·期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84 变式5-2．（2021·陕西宝鸡·三模）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【方法技巧与总结】 1 设 2 贝叶斯公式简单理解为对条件概率公式与全概率公式综合，可利用图像区分好每个事件之间的关系，理解好每个概率表达的含义. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高二下·湖北孝感·开学考试）已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 3.（23-24高一下·湖南株洲·期末）端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等.某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽.已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为，每次包四角粽的概率为.包一个三角粽记1分，包一个四角粽记2分，每次的包法互不影响，则小明恰好获得3分的概率为（   ） A． B． C． D． 4.（23-24高二下·江苏连云港·期中）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）    A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件C不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 5.（23-24高二下·吉林白山·期末）6月16日，2024中国·吉林边境森林马拉松系列赛长白山站开赛，约3000名跑者穿行长白林海.甲､乙､丙､丁4名志愿者随机派往领奖台､赛后恢复区､赛道服务站三个区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域.表示事件“志愿者甲派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往赛后恢复区域”，则（    ） A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件 C． D． 6.（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高三下·浙江·开学考试）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A． B． C． D． 8.（24-25高三·上海·课堂例题）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 二、多选题 9．（22-23高一下·广东阳江·期末）连续两次抛掷一个质地均匀的骰子，并记录每次正面朝上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是独立事件 B．事件与事件是独立事件 C． D． 10. （2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则 11.（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则 ． 13．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为 . 14．（24-25高二下·湖北·开学考试）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ． 四、解答题 15．（24-25高三·上海·课堂例题）两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，求它是合格品的概率． 16.（24-25高二下·全国·课后作业）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的条件下，求学生丙第一个出场的概率． 17.（四川省巴中市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次．已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响． (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率． 18. （2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 19. （2024·江苏宿迁·模拟预测）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. (1)求， (2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 条件概率与事件的独立性 课程标准 学习目标 (1)结合古典概型, 了解条件概率, 能计算简单随机事件的条件概率。 (2)结合古典概型, 了解条件概率与独立性的关系。 (3)结合古典概型, 会利用乘法公式计算概率。 (4)结合古典概型, 会利用全概率公式计算概率。 （1）理解条件概率，会计算简单随机事件的条件概率； （2）理解事件的独立性，了解其与条件概率的关系； （3）会利用乘法公式与全概率公式计算概率（难点) 知识点01 条件概率 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 备注 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) 【即学即练1】 （2025高三·全国·专题练习）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.75 D．0.8 【答案】D 【分析】由题及条件概率计算公式可得答案. 【详解】设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，由题有：，则某天的空气质量为优良， 随后一天的空气质量为优良的概率是：. 故选：D 知识点02 事件的独立性 如果个事件，，….，中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称，，….，相互独立. 一般地，当个事件，，….，相互独立时，有以下公式成立 要注意的是，仅满足上式的n个事件，，….，，并不能说明它们相互独立. 【即学即练2】 （23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的定义可得答案. 【详解】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 知识点03 乘法公式 若为随机事件，则，则 称为概率的乘法公式. 若事件相互独立，则变为 它称为相互独立事件的概率乘法公式. 【即学即练3】 （23-24高二下·全国·课后作业）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】设“第次拨号接通电话”，，第3次拨号才接通电话可表示为， 显然，，相互独立，则， 所以他第3次拨号才接通电话的概率为. 故选：C 知识点04 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 【即学即练4】 （2025·湖北·模拟预测）小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 【答案】A 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 知识点05 贝叶斯公式 设 【即学即练5】 （22-23高三上·江苏扬州·期末）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为： . 故选：A 【题型一：求条件概率】 例1．（2025高三下·全国·专题练习）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设{第一次拿到白球}，{第二次拿到红球}， 则， 所以, 故选：C 变式1-1．（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件， 则，所以. 故选：A 变式1-2．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求与，利用条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】试验的样本点用表示，则满足的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，所以. 又其中为奇数的有9个，即. 所以. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 2 通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率 3 求条件概率可用公式或公式. 【题型二：判断事件的独立性】 例2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件的概念判断A,应用独立事件概率积公式判断B,应用古典概型计算判断C,D. 【详解】第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确； ， 抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果： ，共36个，它们等可能， 事件AB所含的结果有：，共8个， 则有，即事件A与事件B相互独立，B正确； 显然，，C，D都错误. 故选：B. 变式2-1．（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】D 【分析】对于AB，根据互斥事件和对立事件的定义结合题意分析判断，对于C，根据分析判断，对于D，根据独立事件的定义分析判断. 【详解】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误； 对于C，由题意可知， 所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以与相互独立，所以D正确. 故选：D 变式2-2．（24-25高三上·江苏南京·期中）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】D 【分析】由古典概型计算可判断A错误；由及可得B错误；应用条件概率公式计算判断C,由独立事件的乘法公式可以判断D. 【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确； 故选：D. 变式2-3．（2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 【方法技巧与总结】 若，则事件，相互独立. 【题型三：乘法公式的应用】 例3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【分析】由独立事件概率乘法公式可得. 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A. 变式3-1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，由对立事件的概率性质可得答案． 【详解】根据题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为． 故选：B. 变式3-2．（23-24高一下·福建福州·期末）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可. 【详解】分三类： ①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：； ②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：； ③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：. 故甲获胜的概率为：. 故选：B. 变式3-3．（24-25高三上·广东·开学考试）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出三人中恰有两人通关的概率以及甲通关时恰有两人通关的概率，利用条件概率公式求解. 【详解】设甲，乙，丙通关分别为事件，三人中恰有两人通关为事件， 则 ， ． 故选：D． 【方法技巧与总结】 1 若事件相互独立，则变为 它称为相互独立事件的概率乘法公式. 2 利用相互独立事件的概率乘法公式时，要明确事件之间是相互独立的； 3 在分类讨论的时候，要做到不重不漏。 【题型四：全概率公式的应用】 例4．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【答案】A 【分析】根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 变式4-1．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司老、中、青三类员工的人数和男性比例如下表所示： 老员工 中年员工 青年员工 人数比例 男性人数比例 在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】利用全概率公式可得员工为男性的概率是 . 故选：C. 变式4-2．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 【答案】B 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 变式4-3．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式、条件概率公式和全概率的概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，，，， 所以， ， 综上ABD说法正确，C说法错误； 故选：C 【方法技巧与总结】 1 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，我们称它为全概率公式. 2 使用全概率公式，要注意“”，不要找漏事件. 【题型五：贝叶斯公式的应用】 例5．（23-24高二下·黑龙江绥化·阶段练习）设某公路上经过的汽车不是货车就是客车，且货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】先用全概率公式计算中途有车修理的概率，再用贝叶斯公式求这个条件概率即可. 【详解】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则 设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，表示汽车中途停车修理， 则 由全概率公式得 ∴今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为: 故选：C. 变式5-1．（22-23高二上·江西上饶·期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84 【答案】A 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】此人是癌症患者的概率为. 故选：A 变式5-2．（2021·陕西宝鸡·三模）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，得，从而计算求出得到答案. 【详解】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则，，， 所以， 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为， 故选：C． 变式5-3．（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 设 2 贝叶斯公式简单理解为对条件概率公式与全概率公式综合，可利用图像区分好每个事件之间的关系，理解好每个概率表达的含义. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以 . 故选：B 2.（22-23高二下·湖北孝感·开学考试）已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案. 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 3.（23-24高一下·湖南株洲·期末）端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等.某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽.已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为，每次包四角粽的概率为.包一个三角粽记1分，包一个四角粽记2分，每次的包法互不影响，则小明恰好获得3分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据获得3分的情况，分类讨论，利用独立事件乘法公式计算. 【详解】恰好是3分的方法有三种： 第一种：每次包一个三角粽，包三次，则概率为； 第二种：先包一个三角粽再包一个四角粽，则概率为； 第三种：先包一个四角粽再包一个三角粽，则概率为 ， 所以恰好获得3分的概率为. 故选：A. 4.（23-24高二下·江苏连云港·期中）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）    A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件C不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式计算出阴影部分面积，结合对立事件的概率性质与条件概率公式化简即可. 【详解】依题意，图示中涂色部分的面积为 . 故选：A. 5.（23-24高二下·吉林白山·期末）6月16日，2024中国·吉林边境森林马拉松系列赛长白山站开赛，约3000名跑者穿行长白林海.甲､乙､丙､丁4名志愿者随机派往领奖台､赛后恢复区､赛道服务站三个区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域.表示事件“志愿者甲派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往赛后恢复区域”，则（    ） A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件 C． D． 【答案】D 【分析】首先计算出甲､乙､丙､丁4名志愿者随机派往领奖台､赛后恢复区､赛道服务站三个区域的所有情况个数，根据古典概型计算事件A，B，C发生的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的定义以及条件概率的计算公式进行求解判断. 【详解】由题意易知分组情况为，即所有安排方案有种，领奖台区域可能安排2人或1人， 所以，同理，而 ， 由相互独立事件的充要条件可知，事件与不相互独立，故A错误； 显然，事件与能同时发生，不为互斥事件，故B错误； ，由条件概率公式知，故错误； ，故D正确. 故选：D. 6.（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别设事件先应用对立事件求概率，再应用全概率和条件概率计算即可. 【详解】设事件表示“零件为一等品”， 事件表示“零件为二等品”， 事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”， 则 ， 故， 故选:B. 7.（24-25高三下·浙江·开学考试）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率公式及条件概率计算即可. 【详解】设事件“该教师为男教师”，事件“该教师为女教师”，事件“该教师为点赞教师”， 则， 又． 故选：C. 8.（24-25高三·上海·课堂例题）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【答案】D 【分析】根据全概率公式、贝叶斯公式逐一判断即可. 【详解】由题意可知：，，， ，，.由全概率公式可知： ，因此选项A正确； 由贝叶斯公式可知： ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：D 二、多选题 9．（22-23高一下·广东阳江·期末）连续两次抛掷一个质地均匀的骰子，并记录每次正面朝上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是独立事件 B．事件与事件是独立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据独立事件的概念及独立事件概率的乘法运算直接计算. 【详解】，，， ，， 事件与事件是相互独立事件，故A正确； 事件与事件是独立事件，故B正确； 对于C，，正确； 对于D， ，，故D错误； 故选：ABC. 10. （2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由独立事件的乘法公式可得A正确，B错误；由互斥事件的加法公式可得C正确；由全概率公式可得D正确. 【详解】对于A，，故与相互独立，即A正确； 对于B，若与相互独立，则与也相互独立， 则 ，故B错误； 对于C，若与互斥，则， ，故C正确； 对于D，由全概率公式可得， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11.（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为： 13．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为 . 【答案】0.031 【分析】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率. 【详解】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，则彼此互斥，且, ， 设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件， 则. 故答案为：. 14．（24-25高二下·湖北·开学考试）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ． 【答案】 【分析】分别计算甲、乙两轮分别猜对个、个成语的概率，根据互斥事件与独立事件的概率公式计算可得结果. 【详解】设事件、分别表示甲两轮猜对个、个成语，事件、分别表示乙两轮猜对个、个成语， 则，，，. 设事件为“星队”在两轮活动中猜对3个成语，则，且与互斥，与、与分别相互独立， ∴. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三·上海·课堂例题）两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，求它是合格品的概率． 【答案】 【分析】由全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“取到的零件为合格品”，事件表示“零件为第台机床的产品”，． , 由全概率公式得： ． 16.（24-25高二下·全国·课后作业）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的条件下，求学生丙第一个出场的概率． 【答案】 【分析】由条件概率、古典概型概率公式以及排列数、组合数的计算即可求解. 【详解】设事件为“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”， 事件为“学生丙第一个出场”， 第一类：乙最后一个出场，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列，有（种）演讲顺序； 第二类：乙不是最后一个出场，则优先从中间4个位置中选两个给甲和乙，再将余下的4个人全排列，有（种）演讲顺序， 故． 对于事件，此时丙第一个出场，优先从除了甲和丙以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列，有（种）演讲顺序， 故 ． 17.（四川省巴中市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次．已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响． (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，设“甲第一次未投中，乙两次都投中”，易得，由相互独立事件的概率公式计算可得答案； （2）设“乙获胜”，则，由互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得答案． 【详解】（1）根据题意，设“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”， 设“甲第一次未投中，乙两次都投中”，则； （2）设“乙获胜”，则， 故 18. （2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【详解】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率. 19. （2024·江苏宿迁·模拟预测）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. (1)求， (2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意直接计算得出结论； （2）（i），因此，即可证明结论； （ii）利用全概率公式可得结论. 【详解】（1）由题意，前2 次移动向雷达发送信息，则需要连续向左移动2次，则， 若机器人经过，则必不经过3，包括： 前两次都向左移动1个单位； 先向左移动1个单位，再向右移1个单位，再向左移动2个单位； 先向右移动1个单位，再向左移动3个单位， 则其概率， 若机器人经过3，则必不经过，包括：前3次连续向右移动，则其概率， 故； （2）（i），因此， ， ， 对于一系列无穷事件，存在正数，对于任意的n都有，， 则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1，即“中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为 （ii）设事件机器人从出发，运动至3首次发送信息， 根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至或3的概率为1， 再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在的概率与初始位置在1， 首次发信息在3的概率相等，即 设事件表示点移动到1，事件，表示点移动到0，设事件表示点移动到 易知事件与事件相互独立，故 又根据全概率公式，若机器人初始位置为0， 第一次移动后的位置为1 或，故， 故，① 若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为0，故， 即，② 解①②，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为3的概率为 【点睛】关键点点睛：本题第二问有可得，利用不等式放缩可知，进而再放缩可得进而可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$