第1章导数及其应用知识点清单-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

新教材 湘教版2019版 数学选择性必修第二册 第1章 知识点清单 目录 第1章　导数及其应用 1. 1　导数概念及其意义 1. 2　导数的运算 1. 3　导数在研究函数中的应用 2 / 2 第1章　导数及其应用 1. 1　导数概念及其意义 一、平均速度与函数的平均变化率 1. 若在直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)-f(a). 因为所花时间为b-a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]=. 2. 一般地，我们把称为函数y=f(x)在区间[a，b]内的平均变化率，它反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减). 二、瞬时速度 1. 定义：运动物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2. 数学表达式：若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就 是平均速度v(t，d)= 在d趋近于0时的极限. 三、函数的瞬时变化率与导数 1. 瞬时变化率 一般地，若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 2. 导数 (1)导数的定义：设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商，记作f '(x0)，可简单表述为→f '(x0)(d→0). (2)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k=f '(x0). 相应地，此切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0). 四、函数的平均变化率 1. 函数的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比，其作用是刻画函数值在区间[a，b]上变化的快慢. 它的几何意义是函数f(x)的图象上P1(a，f(a))，P2(b，f(b))两点连线(即割线P1P2)的斜率. 五、求函数在某点处的导数 1. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的三个步骤 (1)求函数值的变化量，即 f(x0+d)-f(x0)； (2)求函数的平均变化率，即； (3)求(2)中的表达式在d趋近于零时的值，即为f'(x0). 六、曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线 1. 曲线y=f(x)在点P(x0， f(x0))处的切线方程： (1)点P(x0， f(x0))为切点； (2)切线斜率k=f'(x0)； (3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 2. 曲线y=f(x)过点P(x0， f(x0))的切线方程： (1)点P可能是切点，也可能不是切点. (2)如果点P不是切点，则切线可能不止一条，切线条数与切点个数有关. (3)求切线方程的一般步骤： ①设出切点(x1， f(x1))； ②求出函数f(x)在点(x1， f(x1))处的导数f'(x1)； ③写出切线方程：y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，将(x0，f(x0))代入，求得x1； ④将x1代入切线方程，化简得切线方程. 1. 2　导数的运算 一、常见幂函数的导数 1. 常数函数导数为0：(c)'=0； 2. 恒等函数导数为1：(x)'=1； 3. (x2)'=2x； 4. (x3)'=3x2； 5. '=-； 6. ()'=. 二、基本初等函数的求导公式 1. (c)'=0； 2. (xα)'=αxα-1(α≠0)； 3. (ex)'=ex； 4. (ax)'=axln a(a>0，a≠1)； 5. (ln x)'=； 6. (logax)'= (a>0，a≠1)； 7. (sin x)'=cos x； 8. (cos x)'=-sin x； 9. (tan x)'=. 三、函数的求导法则 1. 和、差的导数：(f(x)±g(x))'=f '(x)±g'(x). 2. 积的导数 (cf(x))'= cf'(x)(c为常数)； (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) . 3. 商的导数 '=. 四、复合函数的概念及求导法则 1. 一般地，设y=f(u)是关于u的函数，u=g(x)是关于x的函数，则y=f(g(x))是关于x的函数，称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 2. 对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，其求导法则为y'x=y'u·u'x， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 五、利用导数公式及求导法则求函数的导数 1. 求函数的导数时需要注意以下几个方面： (1)认真分析函数表达式，若其符合导数公式的形式，则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式求解