2.1—2.2 空间直角坐标系与空间向量的运算（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

2.1—2.2 空间直角坐标系与空间向量的运算 课程标准 学习目标 (1)在平面直角坐标系的基础上, 了解空间直角坐标系, 感受建立空间直角坐标系的必要性, 会用空间直角坐标系刻画点的位置。 (2)借助特殊长方体 (所有棱分别与坐标轴平行) 顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。 (3) 经历由平面向量推广到空间向量的过程, 了解空间向量的概念。 (4)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。 （1）掌握空间直角坐标系，会标出点的坐标； （2）掌握空间两点的距离公式； （3）掌握空间向量的线性运算； （4）掌握空间向量的数量积（难点) 知识点01 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系 在空间选定一点，以点为原点，作三条两两垂直的有向直线，，，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为轴、轴、轴，从而组成了一个空间直角坐标系. 在空间直角坐标系中，由两条坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 有了空间直角坐标系，我们就能够建立空间中任意点与三个实数组成的有序实数组之间的对应关系. 【即学即练1】 （24-25高二上·天津·期末）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（   ） A． B． C． D． 知识点02 空间的两点距离 若 ，则. 【即学即练2】 （24-25高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 . 知识点03 空间向量的运算 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 4 空间向量数量积的性质 1 ② 【即学即练3】 （24-25高二上·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【题型一：空间直角坐标系中点的坐标】 例1．（多选）（24-25高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 变式1-1．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在空间直角坐标系中，点与点关于（   ）对称 A．平面 B．轴 C．平面 D．平面 变式1-2．（多选）（24-25高二上·湖北孝感·期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 变式1-3．（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 【方法技巧与总结】 1 建立空间直角坐标系，主要是找到两两垂直的三条直线，多利用与线线垂直有关的几何图形性质或线面垂直性质、面面垂直性质； 2 标出点的坐标，注意利用投影法. 【题型二：空间两点间的距离】 例2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高二上·江西赣州·期末）在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若 ，则. 【题型三：空间向量的线性运算】 例3．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 空间向量适用平面向量中的平行四边形法则与三角形法则，也能利用平行六面体法则； 2 解题过程中，采取“首尾相接法”是常见的技巧. 【题型四：空间共线向量定理】 例4．（多选）（22-23高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 变式4-1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 变式4-3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 空间向量中两向量，则存在，使得； 2 空间中三点共线，则，其中。 【题型五：求空间向量的数量积】 例5．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 变式5-1．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 变式5-2．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 变式5-3．（24-25高二上·山东菏泽·期末）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 2空间向量数量积的性质 2 ② 【题型六：空间向量的数量积的应用】 例6．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 变式6-1．（24-25高二上·广西南宁·期末）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 变式6-2．（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（多选）（23-24高二下·河南·阶段练习）已知正方体的棱长为，是正方体的面上一点，则下列说法正确的是（    ） A．线段上存在点，使得 B．若点在线段上，则 C．若，则 D．若点在线段上，则点到平面的距离为 变式6-4．（多选）（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则A1A与AC夹角的余弦值为 【方法技巧与总结】 利用空间向量的数量积的定义或性质，可以求解立体几何中线段长度与角度. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·天津和平·阶段练习）设，，，则的中点M到点C的距离（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 7（22-23高二下·广东阳江·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ） A．9 B．7 C．3 D． 8（24-25高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 10.（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 11.（24-25高三上·安徽六安·期末）已知棱长为2的正四面体满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 三、填空题 12．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是 ． 13.（23-24高二下·江苏南京·开学考试）如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 14.（24-25高二上·北京·期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为 ，线段长度的最小值为 ．    四、解答题 15．（24-25高二上·四川雅安·期中）（1）已知，，在轴上求一点使； （2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形. 16.（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 17. （24-25高二上·浙江杭州·期中）在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. (1)用表示； (2)求证：FH与GE相交； (3)求证：四边形EFGH为矩形. 18. （24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 19. （21-22高三上·云南玉溪·阶段练习）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），． （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1—2.2 空间直角坐标系与空间向量的运算 课程标准 学习目标 (1)在平面直角坐标系的基础上, 了解空间直角坐标系, 感受建立空间直角坐标系的必要性, 会用空间直角坐标系刻画点的位置。 (2)借助特殊长方体 (所有棱分别与坐标轴平行) 顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。 (3) 经历由平面向量推广到空间向量的过程, 了解空间向量的概念。 (4)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。 （1）掌握空间直角坐标系，会标出点的坐标； （2）掌握空间两点的距离公式； （3）掌握空间向量的线性运算； （4）掌握空间向量的数量积（难点) 知识点01 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系 在空间选定一点，以点为原点，作三条两两垂直的有向直线，，，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为轴、轴、轴，从而组成了一个空间直角坐标系. 在空间直角坐标系中，由两条坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 有了空间直角坐标系，我们就能够建立空间中任意点与三个实数组成的有序实数组之间的对应关系. 【即学即练1】 （24-25高二上·天津·期末）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可知点关于平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案． 【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点关于平面的对称点是. 故选：A. 知识点02 空间的两点距离 若 ，则. 【即学即练2】 （24-25高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 . 【答案】 【分析】直接利用中点坐标公式和两点间的距离公式求出结果. 【详解】由于三角形ABC的三个顶点分别为，，， 则的中点坐标为，即. 由于，， 故. 故答案为：；. 知识点03 空间向量的运算 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 4 空间向量数量积的性质 1 ② 【即学即练3】 （24-25高二上·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果． 【详解】 故选：D 【题型一：空间直角坐标系中点的坐标】 例1．（多选）（24-25高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 【答案】AC 【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分. 【详解】A选项，点与点关于轴对称，A正确； B选项，点关于轴的对称点是，B错误； C选项，点与点关于平面对称，C正确； D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误． 故选：AC． 变式1-1．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在空间直角坐标系中，点与点关于（   ）对称 A．平面 B．轴 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】点与竖坐标互为相反数，由对称的性质得出结果即可. 【详解】由空间点的对称性质，点与点关于平面对称. 故选：C. 变式1-2．（多选）（24-25高二上·湖北孝感·期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】AD 【分析】结合空间直角坐标系点的坐标特征对选项逐一分析即可. 【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确； 点关于轴对称的点是，所以B选项错误； 点关于平面对称的点是，所以C选项错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确． 故选：AD. 变式1-3．（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 【答案】. 【分析】连接，求出的大小，结合三角函数的定义可求得点的坐标. 【详解】连接，如下图所示： 因为，，则， 因为为的中点，则，故为等边三角形， 故，且， 故点，即点. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 1 建立空间直角坐标系，主要是找到两两垂直的三条直线，多利用与线线垂直有关的几何图形性质或线面垂直性质、面面垂直性质； 2 标出点的坐标，注意利用投影法. 【题型二：空间两点间的距离】 例2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间两点间距离公式计算即可； 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以点的坐标为， 故选：B 变式2-1．（24-25高二上·江西赣州·期末）在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间两点间距离公式计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为. 故选：C. 变式2-2．（24-25高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中两点距离公式计算可得，则可得为该正方体的体对角线，即可得该正方体的外接球球心坐标中点，再利用中点公式计算即可得. 【详解】， ， ， 则， 由为正方体的三个顶点，故为该正方体的体对角线， 则该正方体的外接球球心坐标中点，即为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 若 ，则. 【题型三：空间向量的线性运算】 例3．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 变式3-1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得 ． 故选：D 变式3-2．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 【方法技巧与总结】 1 空间向量适用平面向量中的平行四边形法则与三角形法则，也能利用平行六面体法则； 2 解题过程中，采取“首尾相接法”是常见的技巧. 【题型四：空间共线向量定理】 例4．（多选）（22-23高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】 由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 变式4-1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 变式4-2．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 变式4-3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 空间向量中两向量，则存在，使得； 2 空间中三点共线，则，其中。 【题型五：求空间向量的数量积】 例5．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 变式5-1．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 变式5-2．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 变式5-3．（24-25高二上·山东菏泽·期末）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，连接，则，得， 取基底，由进行求解． 【详解】如图所示： 取的中点M，连接， 则， 得为二面角的平面角，即， 取基底， 则， 因为， 所以 ． 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 2空间向量数量积的性质 2 ② 【题型六：空间向量的数量积的应用】 例6．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 变式6-1．（24-25高二上·广西南宁·期末）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量加法的几何意义有，再由向量数量积的运算律求的长. 【详解】如下图，， 所以 ， 所以. 故选：C. 变式6-2．（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求二面角余弦值. 【详解】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：D 变式6-3．（多选）（23-24高二下·河南·阶段练习）已知正方体的棱长为，是正方体的面上一点，则下列说法正确的是（    ） A．线段上存在点，使得 B．若点在线段上，则 C．若，则 D．若点在线段上，则点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；在正方体中，分别证得和，得到平面，可判定B正确；由平面，得到，可得判定C错误；由，证得平面，结合，求得点到平面的距离，可判定D正确. 【详解】对于A中，若为的中点，则，故A正确； 对于中，在正方形中，可得， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又因为，且面，所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 对于中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即， 又因为，可得，故C错误； 对于D中，因为点在线段上，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 设到平面的距离为， 则， 解得，所以D正确. 故选：ABD. 变式6-4．（多选）（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则A1A与AC夹角的余弦值为 【答案】CD 【分析】A选项，根据空间向量计算出，得到，A正确；B选项，作出辅助线，证明出平面，得到，根据得到为直角三角形，即，结合，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到；D选项，利用空间向量计算出，从而得到. 【详解】对于A，因为，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，A正确， 对于B，连接，    由选项A知， 因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，由于， 所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，因为在菱形中，， 所以， 因为， 所以 ， 所以，所以D错误， 故选：CD. 【方法技巧与总结】 利用空间向量的数量积的定义或性质，可以求解立体几何中线段长度与角度. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特征，即可求得答案. 【详解】由题意，在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为． 故选：C 2（24-25高二上·天津和平·阶段练习）设，，，则的中点M到点C的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间两点间距离公式计算． 【详解】由已知中点为，. 故选：C． 3（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 4（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【详解】因为， 所以 故选：A 5（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 6（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 7（22-23高二下·广东阳江·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ） A．9 B．7 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，即可结合向量的模长公式求解. 【详解】（1）由题意可得， , 故 ， 故选：D 8（24-25高二上·河北邯郸·期末）如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【详解】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以， ． 由，得， 所以， 由，得， 所以，所以， 因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，， 设点，分别是AB，AC的中点，则， 所以DE的最大值为， 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及共线向量的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 10.（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 11.（24-25高三上·安徽六安·期末）已知棱长为2的正四面体满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】选为空间内的基底向量，利用向量的线性运算，可得，即可由模长公式，结合不等式即可判断A；根据数量积的运算即可判断B；根据模长可得，即可由不等式以及一元二次不等式判断C；，结合，可求的范围，可判断D. 【详解】由正四面体，可知， 选为空间内的基底向量，， 因为， 故 ，当时，取到等号，故，故A正确； 当，， 所以,故B正确， 当时，，可得，解得，故当且仅当时，取最小值为，故C错误， ， 所以 ， 由于当，故， 因此， 由于，故，因此，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是用基底表示，再利用模的计算公式运算求得最值. 三、填空题 12．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】将原问题转化为求正四面体的高，正三角形的重心坐标公式即可． 【详解】由已知正四面体ABCD的棱长为1，所以D的竖坐标正四面体的高， 的外接圆半径为， 所以正四面体的高为， 而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标，， 所以， 故答案为：. 13.（23-24高二下·江苏南京·开学考试）如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由图可得 . 故答案为：. 14.（24-25高二上·北京·期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为 ，线段长度的最小值为 ．    【答案】 抛物线 【分析】根据抛物线的定义得出点轨迹，建立空间直角坐标系后由空间两点间距离公式计算． 【详解】因为平面平面，平面平面 ，而平面， 所以到直线的距离就是到平面的距离， 由到平面的距离等于线段的长度，可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 建立如图所示的空间直角坐标系（的中点为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴）， ，，， 点的轨迹方程是， ， 所以时，， 故答案为：抛物线；．    四、解答题 15．（24-25高二上·四川雅安·期中）（1）已知，，在轴上求一点使； （2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解； （2）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解. 【详解】（1）设，由得：， 所以轴上的点能使. （2）设，要使为等边三角形需要， 即， 解之得或，所以点的坐标为或. 16.（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 17. （24-25高二上·浙江杭州·期中）在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. (1)用表示； (2)求证：FH与GE相交； (3)求证：四边形EFGH为矩形. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，由向量的减法可得答案. （2）证明四边形为平行四边形，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【详解】（1）因为E，F，分别是OA，AB的中点，所以且， 所以． 因为F，G，分别是AB，BC的中点，所以且， 所以． （2）由题意知E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 故，同理， 则，即，则四边形为平行四边形， 故FH与GE相交； （3）设正四面体的棱长为，由题意知向量中，两两之间的夹角均为， 由（1）知， 由（2）知，四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以，故．所以平行四边形为矩形． 18. （24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以， ， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 19. （21-22高三上·云南玉溪·阶段练习）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），． （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可； （2）取中点，连接、、，然后证明平面，平面平面，作，交于点，然后可得平面，然后算出，然后利用向量关系算出，然后可得，然后可求出答案. 【详解】（1）作，交于点，设，则， ∵，∴，即， ∵且，连接， 所以四边形为平行四边形，∴， ∵平面，且平面， ∴平面． （2）取中点，连接、、， ∵，，， 根据余弦定理得：， ∴，则， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴平面，平面 ∴平面平面， 在中，，， 作，交于点，因为平面平面， 所以平面， 则，∴， ∵平面，所以点到平面距离， ， ， ∴． ， ∵，∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$