第10讲 导数与定积分讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第10讲导数与定积分 一基础知识整合 1.导数的概念：(I)函数y=f在)在x=xo处的导数称函数y=f)在x一xo处的瞬时变化率 =lim\s do4(△x一0)4yAx为函数y=fc)在x=xo处的导数，记作 或 即fd=lim's\do4(△x→0)4y△x= (②)导数的几何意义：函数f)在点o处的导数f:的几何意义是在曲线y=f)上点Po, y%处的 (瞬时速度就是位移函数s)对时间t的导数).相应地，切线方程 为 (3)函数x的导函数：称函数f 为f的导函数. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f)=c(c为常数) f)=x(n∈Q) fx)=sinx Ax)=cosx fx)=a fx)=e fx)=logx fx)=Inx 3导数的运算法则： (I)[/x+gx'= (2L/xgx)'= (3)f(x)g(x)》 (g(x)≠0). 4.复合函数的导数：复合函数y=(g)的导数和函数y=0,=g(x)的导数间的关系为 ′= 即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积。 5.定积分的概念： 在心ft中，a,乃分别叫做积分 与积分 ,区间[a,b]叫 做 x)叫做 ,x叫做 xd叫做 2.定积分的性质： (1)[f(x)dx= (k为常数)： [h(x)共5(c)]dr= 6= (其中ac<b). 3.微积分基本定理：一般地，如果x)是区间[a,b]上的 函数，且F(x)=,那么 f(x)dx= 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式： 其中Fx)叫做的一个原函数.为了方便，常把Fb)一F(a)记作 即fxr= 二典例精析 题型一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1y=(3.x2-4x(2x+1):(2)y=x2sinx;(3y=3e-2+e;(4y=lmc2+1:(5y=ln(2x-5) 变式训练1：求下列函数的导数： (1)y=x"e;(2y=cosxsinx;(3y=e'lnx;(4y=(1+sinx)2 题型二：导数的几何意义 例2：(1)曲线y=x3一2x在(1，一1)处的切线方程为 (2)设曲线y=a一nx在点(1,0)处的切线方程为y=2x,则a= (3)设a∈R,函数x)=e十aex的导函数是()，且fx)是奇函数.若曲线y=fx)的一 条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 变式训练2：(1)若曲线y=32x2+x-12的某一切线与直线y=4x+3平行，则切线方程为 (2)函数fx)=1n(2x十3)一2x2x的图象在点（一1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积 等于 题型三：定积分的计算 例3：利用微积分基本定理求下列定积分： of 62+2x+10d:a (sin x-cos )d;(3)i 变式训练3：计算下列定积分： 62-2x+10:2 wsfaTco(-sh,a。2a 题型四：定积分的应用 例4：(1)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (2)设a>0,若曲线y=x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a= (3)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度W0=7一31十251+1 (t的单位：s,v的单位：ms)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m)是 变式训练4：（四1-x-1)2= (2)由抛物线y=x2一1，直线x=0,x=2及x轴围成的图形面积为 (3)设变力Fx)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=1运动到x=I0,已知Fx)=x2 +1且方向和x轴正向相同，则变力Fx)对质点M所做的功为 J心的单位：m;力 的单位：N) 三.方法规律总结 1,导数计算的原则和方法：：（①）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错， (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后 求导. 2.求曲线切线方程的步骤：①求出函数y=x)在点x=x处的导数，即曲线y=x)在点P (a,fo)处切线的斜率：②由点斜式方程求得切线方程为y一x)=f(o)(c一xo). 3.求曲线的切线方程需注意两点：①当曲线y=fx)在点Pxa,》处的切线平行于y轴（此 时导数不存在)时，切线方程为x=:②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求 解. 4.计算一些筒单定积分的解题步骤：①把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦 函数、指数函数等函数之积的和或差：②把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述 函数的定积分：③分别用求导公式（逆向思维）找到一个相应的原函数：④利用牛顿-莱布尼茨 公式求出各个定积分的值：⑤计算原始定积分的值， 分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义