第2讲 命题与常用逻辑用语讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第2讲命题与常用逻辑用语 基础知识回颜 命题 表述形式 1.命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够 的陈述句叫做命题.其中判断为的语句叫真命题，判断为的 原命圈 若p,则q 语句叫假命题. 逆命题 2.四种命题及其关系 否命题 (1)四种命题（右上图表） 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系（右中图表） 互逆 (3)四种命题的真假关系 原命题 逆命题 ①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性： 互为 逆否 ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关 互 系. 否 3.全称命趣与特称命趣 互为 逆否 (1)“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中 通常叫做 通常用符号“”表示.含有全称量词的 否命趣 逆否命题 命题称为 ,全称命题“对M中任意一个x,有卫(x 互逆 成立”可用符号简记为：Vx∈M,p(x). (2)“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫 命 题 命题的否定 做」 通常用符号“”表示.含有存在量词的命题称 为 ,特称命题“存在M中的元素，使p(x)成立” Hx∈M,p(x 3∈M,p(xa) 可用符号简记为：3x∈M,p(xo). (3).含有一个量词的命题的否定 p q pAq pVq P 因此，全称命题的否定是 特称命题的否定是 真 真 4.逻辑联结词： 真 假 (1)命题中的 叫做逻辑联结词.“p且q” 假 真 记作pq,“p或q”记作pq,“非p”记作 假 假 (2)命题pAq,pVq,一p的真假判断（右上图表）(3) 口诀：“p∧q ”:4pVq 5.命题的否定与否命趣 (1)命题否定是指只对命题的结论否定。命趣“若p则q”的否定为“ (2)否命题是指对命题的条件和结论同时否定。命题“若p则q”的否命题为“ (3)“p或q”的否定为：“ ”:“p且g”的否定为：“ 6. 一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表： 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定词语 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 否定词语 7.四种条件 (1)如果p=q,则p是q的 ,q是p的 (2)如果p→q,q→p,则p是q的 (3)四种条件：①充分不必要条件： ②必要不充分条件： ③充要条件： ④既不充分也不必要条件： 二. 典例精析 题型一：四种命趣 例1：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. (1)正三角形的三个内角相等 (2)已知a、b、c、d是实数，若a=b,c=d,则a十c=b十d 题型二：命题的否定与否命题 例2：写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若y=0,则x,y中至少有一个为零：(2)若a十b=0,则a,b中最多有一个大于零： (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数. 题型三：全称命题与特称命题 例3：指出下列命题中，哪些是全称命趣，哪些是特称命趣，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假 (1)若a>0且a≠1，则对任意实数x,a>0:(2)对任意实数x,,若x<x2,则tanx<tanx: (3)3I∈R,使|sin(x+To)|=|sinx:(4)3xo∈R,使x20十1<0. 趣型四：复合命题的综合应用 例4：已知p:函数y=x2+x+1在(-1，十o)内单谓递增，q:函数y=4x2+4(m2)x+1大于零恒成立. 若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围. 趣型五：四种条件 例5：(1)指出下列p是q的什么条件 ①p:“中=r”是q:“曲线y=sin(2x十中)过坐标原点”的 条件 ②若a∈R,则p:“(a-1)(a-2)=0”是g:“a=2”的 条件 ③在△ABC中，设p:asinB=bsinC-=csinA:q:△ABC是正三角形，那么p是q的 条件 ④已知a,b,c∈R,p:“b-4ac<0”是q:“函数f(x=ax2+bx十c的图象恒在x轴上方” 的」 条件 题型六：充要条件的证明 例6：求证方程x2+2x十1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1 1. 三.方法规律总结 1.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命趣的 区别：对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定，判断命题的真假要注意： 全称命趣为真需证明，为假举反例即可：存在性命趣为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真. 2.要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假. 3.全称命题与存在性命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集 4.pVg为真命题，只需p、q有一个为真即可，pAg为真命题，必须p、q同时为真. 5.p或q的否定：非p且非q:p且q的否定：非p或非q 6.全称命题的否定是存