专题七 分式方程的增根问题-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（沪科版）

45 专题七　分式方程的增根问题 分式方程的增根是去分母后整式方程的根,但不是原分式方程的根.分式方程的增根问题是 解分式方程的延伸,是考试的高频考点,也是考试的难点,主要包括“判断已知分式方程的增根” 和“已知分式方程的增根,求参数的值”两大类.解答分式方程的增根问题,应牢牢抓住增根的定 义,将分式方程问题转化为整式方程问题来解决.此类问题有时还涉及方程有无解问题,加大了 问题的难度. 类型一 已知分式方程，判断它的增根 1. 已知方程 x x-3=2- 3 3-x 有增根,则这个增 根一定是 ( ) A. x=2 B. x=3 C. x=4 D. x=5 2. 方程 12 x2-1- 6 x-1= 1 x+1 的增根为 ( ) A. x=1 B. x=±1 C. x=-1 D. x=0 答案讲解 3. 若关于x 的方程 6(x+1)(x-1)- m x-1=1 有增根,则它的增根是 ( ) A. x=0 B. x=1 C. x=-1 D. x=1或-1 4. 阅读材料,解决问题: 解分式方程时可能会产生增根的原因是什 么呢? 事实上,解分式方程时产生增根,主 要是在去分母这一步造成的.根据等式的基 本性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一 个数(除数不能为0),结果仍相等.但是,当 等式两边同乘以0时,就会出现0=0的特殊 情况.因此,解方程时,方程左右两边不能同 乘以0.而去分母时会在方程左右两边同乘 以公分母,此时无法知道公分母的值是否为 0,未知数的取值范围就可能扩大了.如果去 分母后得到的整式方程的根使所乘以的公 分母的值为0,那么此根即为增根.增根是整 式方程的根,但不是原分式方程的根.所以 解分式方程必须验根. (1) 若解分式方程1-x x-2+2= 1 2-x 时产生了 增根,则这个增根是 . (2) 小明认为解分式方程 2x x2+1- 3 2x2+2= 0时,不会产生增根.为什么? (3) 解方程:2 x-1+ 1 x+1= 4 x2-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2　整合提优 46 类型二 已知分式方程的增根，求参数的值 5. 若关于x 的分式方程x+1x-1+1= m 1-x 有增 根x=1,则m 的值为 ( ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 6. 若关于x的方程x+ax-3- 7 x=1 的增根为x= 3,则a的值为 ( ) A. 11 B. -11 C. 3 D. -3 7. 若方程x+k x2-1+ x 1+x=2 有增根x=-1,则 k= . 8. 已知关于x 的方程 1x-2- 4 x2-4= k x+2 有 增根x=-2,求k的值. 类型三 已知分式方程有无增根，求参数的值 9. 若关于x的方程k-1x-1- x x-1=0 没有增根, 则k的值不能是 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 10. (无锡中考)若分式方程 3 x-2+1= m 4-2x 有 增根,则m 的值为 ( ) A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 11. 若解方程 2 x+1+ 5 1-x= m x2-1 会产生增 根,则m 的值为 ( ) A. -10 B. -10或-3 C. -3 D. -10或-4 12. 若关于x的分式方程3xx-2= m+3 x-2+1 有增 根,则m= . 13. 若关于x的分式方程 2x-4=3+ m 4-x 没有 增根,则m= (写出一个即可). 14. 当m 的取值满足什么条件时,关于x 的方 程3 x+ 5 x-1= x+m x(x-1) 不会产生增根? 答案讲解 15. 若关于x 的方程2mx+1- m+1 x2+x= 1 x 有增根,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈