3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第一课时　抛物线的简单几何性质 [学习目标] 1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养(重点).2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题，提升数学运算和逻辑推理的核心素养(难点)． 要点一　四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 思考：抛物线的方程只有一个参数p，它的大小影响抛物线的哪些性质？ 提示　焦点、准线的位置、开口的方向等性质． 要点二　直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(　　) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　　) (4)抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(　　) 解析 (1)正确．渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质，抛物线没有渐近线． (2)错误．过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p，此弦长也称为通径长． (3)错误．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时不相切． (4)正确．因为p＞0，y2≥0，所以x≥0. 答案 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　抛物线的几何性质 规律总结　 注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称． 【例题1】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 解析 因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下． 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F.因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5， 故解得 所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为 y＝2. 【变式1】 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解析 当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)，将点M(1，－2)代入，得m＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝4x； 当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)，将点M(1，－2)代入，得n＝－，所以抛物线的标准方程为x2＝－y. 综上，所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y，准线方程分别为x＝－1或y＝. 探究二　抛物线的几何性质的应用 规律总结　 在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程的形式，然后利用条件求解，要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化． 【例题2】 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为(　　) A．(2,0) B．(1,0) C．(8,0) D．(4,0) 解析 (1)因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p， 所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.故选B项． (2)因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方