第1章 空间向量与立体几何 章末复习方案（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

章末复习方案 ,) 探究一　利用空间向量证明线、面的位置关系 用空间向量判断空间中线、面位置关系的探究与方法总结： (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 【真题1】 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 证明　(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则B(0，0,0)，D(0，2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，所以·＝0，·＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD. (2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)， 则＝，＝(0,1,1)，所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 探究二　利用空间向量求解距离和空间角 距离和空间角的求解可以通过几何方法得到，但对考生的空间想象能力、推理论证能力有较高的要求，使用空间向量方法可以减少作图，只要建立合理的空间直角坐标系，把所求的距离和角转化为向量之间的问题求解即可．高考试题中的立体几何解答题往往是分步设问，其中空间距离的求解部分几何的方法和空间向量方法都可能考查，具体看哪种方法使解题更简便，而空间角求解部分侧重考查空间向量方法． 【真题2】 (2022·新高考Ⅰ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值． 解析 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h， 则VA－A1BC＝S△A1BC·h＝h＝VA1－ABC＝S△ABC·A1A＝VABC－A1B1C1＝，解得h＝，所以点A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B， 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC， 又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1， 所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由(1)得AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2，所以BC＝2， 则A(0,2,0)，A1(0,2,2)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，所以A1C的中点D(1,1,1)， 则＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，＝(2,0,0)， 设平面ABD的法向量为m＝(x，y，z)， 则可取m＝(1,0，－1)， 设平面BDC的法向量为n＝(a，b，c)， 则可取n＝(0,1，－1)， 则cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角A－BD－C的正弦值为＝. 探究三　用空间向量解决折叠问题 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折起使之成为空间图形的一类问题，这类问题对解题者的空间想象能力有较高要求，折叠问题是一个重要的命题点． 【真题3】 如图1，在平面四边形PBCD中，已知BC⊥PB，PD⊥CD，PB＝6，BC＝2，DP＝2CD，DA⊥PB于点A.将△PAD沿AD折起使得PA⊥平面ABCD，如图2，设＝λ(0≤λ≤1)． (1)若λ＝，求证：PB∥平面MAC； (2)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求λ的值． 解析 (1)在平面四边形PBCD中，BC⊥PB，PB＝6，BC＝2，所以CP＝2，tan∠BPC＝. 又PD⊥CD，DP＝2