7-6 隐零点与极值点偏移问题 (培优课，精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

7-6 隐零点与极值点偏移问题 7-6 隐零点与极值点偏移问题 1 一、分类题型 1 题型一 隐零点问题 2 题型二 极值点偏移问题 12 一、分类题型 题型一 隐零点问题 导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． 【例题精析1】 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例题精析2】 已知函数． (1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围； (2)若，，方程有几个解？ 【例题精析3】 已知函数. (1)若，证明：存在唯一的极值点. (2)若，求的取值范围. 【例题精析4】 已知函数． (1)设，求在 上的最大值； (2)当时，求证：． 【例题精析5】 已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)设，若，，都有，求实数的取值范围． 零点问题求解三步曲 (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 【对点精练1】 已知函数（k为常数，且）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 【对点精练2】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在上的单调性． 【对点精练3】 已知函数 (1)若，求的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求的最大整数值． 【对点精练4】 设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求a的值； (2)求的单调区间； (3)若对成立，求b的取值范围． 【对点精练5】 已知函数． (1)若，求的极小值． (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：有且只有个零点． 题型二 极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色． 【例题精析6】 （2021·全国·统考高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【例题精析7】 已知函数． (1)若，证明：； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：． 【例题精析8】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性和最值； (2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：. 【例题精析9】 已知函数 （1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值； （2）若函数有两个极值点，求证： 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【对点精练6】 （2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 【对点精练7】 设向量. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若存在两个极值点，证明：. 【对点精练8】 已知函数有两个零点、. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 7-6 隐零点与极值点偏移问题 7-6 隐零点与极值点偏移问题 1 一、分类题型 1 题型一 隐零点问题 2 题型二 极值点偏移问题 12 一、分类题型 题型一 隐零点问题 导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． 【例题精析1】 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递增， 当时，另，得， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数单调递减， 综上所述，当时，函数在单调递增， 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减； （2）若不等式恒成立，则有， 即， 化简得， 设函数，， ， 令得