专题10 立体几何与空间向量（解答题）-大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（天津卷）

大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（天津卷） 专题10立体几何与空间向量（解答题） 1．【2023年天津卷17】三棱台中，若面，分别是中点.    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．【2022年天津卷17】直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 3．【2021年天津17】如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 4．【2020年天津卷17】如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．【2019年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3． （Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； （Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD； （Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 6．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2． （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE； （Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长． 7．【2018年天津理科17】如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2． （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长． 8．【2018年天津文科17】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 9．【2017年天津理科17】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长． 10．【2017年天津文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2． （Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC； （Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 11．【2016年天津理科17】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2． （1）求证：EG∥平面ADF； （2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值． 12．【2016年天津文科17】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE，∠BAD＝60°，G为BC的中点． （1）求证：FG∥平面BED； （2）求证：平面BED⊥平面AED； （3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值． 13．【2015年天津理科17】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD （Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值； （Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长． 14．【2015年天津文科17】如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA； （Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1； （Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小． 15．【2014年天津理科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ